Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 [ 82 ] 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

предполагать, что в угловой точке, где имеет место геометрическая особенность, величина С непрерывна или однозначна.) Когда значение t,c берется в разностном уравнении, записанном для узла (гс,/с--1), расположенного над угловой точкой С, то принимается t,c - L,a; когда же значение t,c берется

ic,yc+1

7ГТ7Т777ТТ7 /

/ / /

/ / / / л. А

Рис. 3.29. Узлы сетки, используемые для определения значения вихря в угловой точке.

в разностном уравнении, записанном для узла (гс+1,/с), расположенного вниз по потоку от угловой точки. С, то принимается == При таком неоднозначном подходе можно применять также условия на стенке второго порядка точности.

Однако существуют и другие возможности, В работе Роуча и Мюллера [1970] были проверены семь различных способов определения вихря в угловой точке для случая прямоугольной системы координат. Эти способы перечислены в подписи к рис. 3.30. Первые четыре способа были опробованы как со схемой «чехарда», так и со схемой с разностями против потока, последние же три способа были опробованы только со схемой с разностями против потока. В качестве тестовой задачи была выбрана задача об обтекании обратного уступа при Re =10, когда на входной границе задавался профиль Польгаузена,. соответствующий течению в пограничном слое с параметрами б/Л =1 и Л = О, а на твердой стенке задавалось условие прилипания. (При больщих Re результаты мало зависели от выбранного способа расчета.)

Способ 1 уже был описан. Здесь рассматриваются разрывные значения с, полученные из граничного условия (3.435) на твердой стенке. Такую постановку граничных ycлoвий предло-



ЖИЛ Ричардсон [1910], а для расчета вихря ее реализовали Том и Апельт [1961], Роуч и Мюллер [1970], Кейкер и Уайтло [1970]. Способ 2 был разработан Кавагути [1965] в предположении, что функция тока of симметрична относительно точки С. Здесь в двух точках на стенке определяются фиктивные значения функции тока of*, а именно = af+i и if,= ~ic /"-i-i вихрь в точке С находится из уравнения Пуассона (3.365) с учетом этих фиктивных значений of*. Фактически

/У •{c+Jc)

Рис. 3.30. Семь различных способов определения значения вихря в угловой

точке.

1) разрывные значения: ?о = 2ф(с, (;+I/(Д/) ?j = 2ф;с4-1./с/(Д-«;); 2) симметрия ф относительно угловой точки С: ?с = 2ф(с,/с-и/СД ) + 2ф<<;-и,/(;/(Д*);

3) среднее от значении на стенке: = Фгс,/c+i/il/) + Фгс-ы,/Лл;);

4) стеика, наклоненная под углом 45°: = 2фр/(Ар); 5) отрыв потока в точке С: = О," 6) отрыв потока в точке в: = О, So = 2ф,-с,

7) значение на стенке перед точкой с: i,c = 2ic, jc+iliAy)-

В данном способе величина t,c в угловой точке определяется так, как будто эта точка является внутренней точкой, причем здесь Vi]) = Сс вычисляется с учетом условий прилипания и - = у = 0. В том случае, когда Ах = Ау = А, данный способ эквивалентен другому способу, предложенному Ричардсоном [1910] для закругленного угла, в котором off, и Ар находятся с помощью интерполяции в точке Р на прямой, проходящей через точки (гс,/с-)-1) и (гс-)-1,/с).

Способы 3 и 4 также испытывались для скругленного каким-либо образом угла. В способе 3 рассматривается одно значение для вихря в угловой точке, равное среднему арифметическому значений вихря на стенках, т. е. в точках А и В. Это дает величину Хс равную половине значения t,c, полученного в способе 2. То же самое значение может быть получено из уравнения Пуассона (3.365), записанного для угловой точки, при условии, что ofi = О в точках (ic-1,/с) и {ic, jc-Г). Такая интерпретация предлагалась рядом авторов (см., например, Гринспэн [1969а]), причем считалось, что условие для величины tc имеет второй порядок точности. Такая интерпретация неправомочна; поскольку конечно-разностная форма лапласиана, на которой основано уравнение (3.365), несправедлива в угловой точке, нет оснований предполагать, что в точке С вторая производная



d-\!(i/dx непрерывна по х или djdy непрерывна по у, поэтому вывод уравнения (3.365), проведенный с помощью разложения в ряды Тейлора, неприемлем для угловой точки С.

Отметим, что пятиточечная схема для лапласиана Vofi справедлива в точке С только при условии непрерывности производных d-\lfjdx и dldy при переходе через точку С, или, что эквивалентно, при условии непрерывности dvjdx и dujdy. Но односторонний предел при стремлении к С вдоль границы В 2, когда х<Хс, в силу условия прилипания на стенке В 2 приводит к равенству dvjdx = 0; аналогично dujdy = О вдоль В 5). Поскольку 1;, = dujdy- dvjdx, ясно, что из непрерывности производных dldx и djdy в точке С следует, что = 0. Отсюда можно прийти к заключению, что если и можно вычислить Vofi в точке С, то этого делать не надо, а можно сразу однозначно записать = 0.

В способе 4 условно считается, что стенка в узле {ic,jc) имеет наклон 45° и формула (3.435) применяется в точке Р (рис. 3.30,6), где значение ofp находится с помощью интерполяции по значениям фг-с,/с-ц и ic+[,jc+l) При р = Ах/Д(/=1 эта формула сводится к условию = 2i])fc+i,/c+i/Ap, или t,c = = •c-ьl/Д. где Д - Ах = Ау.

Способы 5 и 6 основаны на введении искусственного отрыва потока в угловой точке, где его можно ожидать. Легко видеть, что для непрерывного потока вихрь равен нулю в точке отрыва (или в точке вторичного присоединения потока). В способе 5 рассматривается одно значение t,c, которое равно нулю, в способе 6 рассматриваются два значения вихря в угловой точке, причем в точке В принимается = 0. В общем случае такой отрыв лучше не вызывать искусственно, а давать возможность ему проявляться в результате решения, поэтому ни один из этих двух способов не считается правильным. (Как ни странно, эти способы не эффективны даже при искусственно вызванном отрыве, см. Роуч и Мюллер [1970].)

Способ 7 предложили Хын и Макано [1966]. Идея заключается в следующем: поскольку разделяющая линия тока (предполагается, что она отрывается от угловой точки) почти параллельна стенке, расположенной выше по потоку от угловой точки, то следует брать одно значение вихря с, равное величине а-Хын и Макано применяли для вихря на стенке условие второго порядка точности (3.439) в отличие от рассматриваемого нами условия первого порядка (3.435). Способ 7 приводит по существу к таким же результатам, как и способы 2 и 4.

1) Простои анализ профиля скорости в окрестности точки С при ди/ду = 0 показывает, что это условие абсурдно.

2) При 5 > 1; если р < 1, то грр находится при помощи интерполяции но точкам (ir 4- 1. (с-f 1) ч (ic + 1. !с).



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 [ 82 ] 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199