Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 [ 80 ] 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

3.3.9. Парадокс, связанный с влиянием условий на выходной границе потока

На первый взгляд кажется, что условие свободного выхода потока, поставленное на некоторой границе ниже по потоку, наиболее существенно для течения несжимаемой жидкости, поскольку в дальнейшем это условие оказывает влияние иа все течение выше по потоку. Для сверхзвукового течения казалось бы, что условие иа границе, расположенной ниже по потоку, будет существенно только для вязких членов, так как при сверхзвуковом течении ограничено влияние вверх по потоку. Различные авторы утверждают или подразумевают эти положения.

Прежде всего заметим, что в конечно-разностной схеме влияние вверх по потоку сказывается в сверхзвуковом течении даже при отсутствии вязких членов. Этот эффект проявляется наиболее ярко, если конвективные члены представляются центральными разностями; но даже если используются разности против потока, влияние члена с градиентом давления проявляется вверх по потоку. В самом деле, такое влияние вверх по потоку естественно и даже необходимо, например, если когда-то должна перемещаться ударная волна или если когда-то должен быть отключен приток воздуха в аэродипамическую трубу.

Но полный парадокс еще более выразителен: утверждается, что постановка условий иа выходной границе ниже по потоку более важна в случае сверхзвукового течения, чем в случае дозвукового.

Рассмотрим два случая квазиодиомериого течения невязкой жидкости в канале, как показано на рис. 3.28. Рассмотрим простейший случай, когда условия во входном сечении (1) фиксированы. Тогда в случае дозвукового течения (рис. 3.28, а) элементарные соотношения показывают, что в выходном сечении (2) имеет место единственное решение. Например, если М->0, то ы = м, (Л,/Л2) и = Р, + р («2 - «22 и т. д. По крайней мере интуитивно ясно, что для численной задачи необходимо предоставить возможность «свободно» развиваться условиям в выходном сечении (2). То, над чем мы обычно задумываемся в отношении влияния вверх по потоку, представляет собой физическую сторону задачи, в которой изменение в условиях даже ниже по потоку от (2) будут оказывать влияние на условия во входном сечении (1). Например, если противодавление в трубе повышается, то давление в сечениях (1) и (2) увеличивается, а скорости будут уменьшаться. В этом заключается суть дела. Если бы Р2 изменилось, то и U\ также должны измениться. Но коль скоро поток во входном сечении (1) задан,



М< 1

М> 1

все параметры течения определены всюду единственным образом.

Проведем те же рассуждения для случая полностью сверхзвукового течения в трубе (рис. 3.28,6). Здесь также суще-

ствует эффект запирания, кото-

--- рый означает, что если противо-

давление падает ниже предельного значения, то во входном сечении (1) его влияние не проявляется. Ио если противодавление повышается, то возникает ситуация, показанная на рис. 3.28, в. Ударная волна войдет внутрь трубы, и ее окончательное положение будет зависеть от величины противодавления. Будет сушествовать некоторый интервал противодавлений и соответствующий интервал параметров потока на границе (2), для которых поток на границе (1) остается сверхзвуковым. Тогда при фиксироваиных условиях во входном сечении, где имеет место сверхзвуковой поток, едииствениое решение будет зависеть от граничного условия, поставленного в выходном сечении потока.

Этот эффект обнаружил Крок-Рис. 3.28. Парадокс, связанный ко [1965] при расчетах квазиод-с в.пияннем граничных условий цомериого течения в трубе. Для на выходной границе потока; ппртижрния гтапионяпного пргггр квазиодномерное течение невязкой Достижения стационарного реше-жндкости. а - полностью дозвуко- ния Крокко был вынужден зада-вое течение; б - полностью сверх- вать на выходной границе пото-звуковое течение; а - течение а два параметра: давление и ГходГГс7ченнн"и Тзвовой температуру. Когда стационар-скоростью в выходном сечении, ное решение было достигнуто, он

смог «смягчить» условие для температуры, положив Г/,, = T, ij. Но когда аналогичный прием был применен для плотности, ударная волна начала дрейфовать. Бенисон и Рубин [1969] при расчете квазиодиомерного течения также были вынуждены фиксировать величину р в выходном сечении, так как это определяло структуру ударной волны выше по потоку. Автор настоящей монографии обнаружил аналогичный эффект при расчетах течения в двумерной трубе.




Конечно, если условия в двумерно!! задаче таковы, чго полностью гарантируют сверхзвуковой ноток в выходном сечении, то можно ожидать меньшей зависимости от условий на выходной границе, особенно при аппроксимации члена, описывающего конвекцию в направлении и, разностями против потока (см. разд. 5.7,6).

3.3.10, Соотношение вычислительных и аналитических граничных условий

В предыдущих разделах были рассмотрены различные виды «вычислительных граничных условий». Для линий симметрии или для стенок с условием прилипания эти условия ие отличаются от аналитических условий и основаны именно на них. Но вычислительные граничные условия иа верхней, входной и выходной границах потока уже отличны от аналитических. Для выбора имеется целое многообразие вычислительных граничных условий, не эквивалентных общепринятым аналитическим граничным условиям, так что, вообще говоря, численное решение в целом не будет сходиться к какому-либо аналитическому решению (если, конечно, таковое имеется).

Однако термины «вычислительный» и «аналитический» не следует отождествлять со словами «приближенный» и «точный». С точки зрения физической природы явления следует признать, что как численный, так и аналитический подходы являются приближенными.

Аналитические граничные условия выбираются прежде всего из соображений удобства и простоты аналитической поста-новки задачи. Ни для одной реальной физической задачи условия на «бесконечности» не соответствуют условиям «невозмущенного потока». Если быть предельно точным при определении подъемной силы, действующей на самолет, то следовало бы потребовать, чтобы аналитическое граничное условие на верхней границе учитывало скорость воздуха относительно самолета, вызванную вращением Земли; плотность р при у-* оо должна не стремиться к значению в «невозмущенпом потоке» роо, а, по-видимому, подчиняться экспоненциальному закону р = рое"<+, где h - высота самолета над уровнем моря. В качестве условия на нижней границе при у = -h надо было бы задать условие прилипания на стенке сферической формы (поверхность Земли).

Это, конечно, не обязательно. Из сравнения с физическими данными (и по интуитивным соображениям) известно, что аналитические условия в «невозмущенном потоке» приводят к достаточно «точным» результатам в области, представляющей интерес (вблизи самолета), т. е. совпадают с наблюдаемыми



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 [ 80 ] 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199