Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 [ 78 ] 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

Данный способ применим также и для течений прн больших Re, но с единственным предположением, что в двух последних колонках узлов сетки диффузией пренебрегают.

Шаниро и ОБрайен [1970] сравнили результаты расчетов двумерной метеорологической задачи при применении этого способа с результатами, полученными в достаточно большой расчетной области при фиксированных значениях g на выходной границе (задача Дирихле). Хотя можно было ожидать, что последний способ даст более точные результаты, в действительности этого не произошло; на достаточно больших временах при расчете t возникали пилообразные осцилляции (см, также Вара-паев [1969]). Такие осцилляции в решении представляют собой обычное явление, которое рассматривается в следующем разделе.

3.3.8. Пилообразные осцилляции в конечно-разностном решении

С пилообразными осцилляциями решения в узловых точках пространственной сетки можно встретиться во многих работах. При расчетах сверхзвукового потока при помощи схем с симметричными разностями для аппроксимации пространственных производных осцилляции обычно возникают за ударной волной (см. разд. 5.3). Но пилообразные осцилляции возникают также и при расчетах течений несжимаемой жидкости до больших значений времени. Многие авторы объясняют такое поведение нелинейностью или линейной неустойчивостью расчета нестационарного течения. (Осцилляции могут даже предотвраищть сходимость итерационного процесса.) Здесь будет показано, что действительный источник этого явления гораздо проще.

На рис. 3,26 представлено полученное неитерационным прямым методом прогонки (см. прилол\еиие А) точное решение конечно-разностного уравнения, соответствующего стационарному линейному модельному уравнению с постоянными коэффициентами у конвективного и диффузионного членов

О = - и дфх + ад%1дх (3.490а)

с граничными условиями

S(0) = 0, g(l)=l. (3.4906)

Соответствующее конечно-разностное уравнение с центральными разностями имеет вид

О = - «+ а kllZk+h. (3.491 а)

При выборе шага Ал- = /lo граничные условия в дискретной форме принимают вид

Ci = o, г;„ = 1. (3,4916)




J-1-1 L

Э 10 11


Рис. 3.26. Точное решение уравнения О =-ы (б£/бд;) + а (б/бд;). Решение с центральными конечными разностями, Дд:=7,д, ,=0, = 1. ы = const. а: а/и=1, Re=l, Rec = 0.1; б: а/и = 0.01, Re ==100, Rec=10.

Решение, представленное на рис. 3.26, а, получено при а/ц = 1, что соответствует Re= 1, и является гладким. Решение, приведенное на рис. 3.26, б, получено при а/и == 0.01, что соответствует Re = 100, образует характерные пилообразные осцилляции. Подчеркнем, что изображенное на рис. 3.26 решение представляет собой точное стационарное решение линейного конечно-разностного уравнения (3.491) с постоянными коэффициентами. Пилообразные осцилляции в данном случае вызваны не неустойчивостью итерационного процесса, не нелинейностью и не переменностью коэффициентов; они просто являются решением конечно-разностного уравнения (3.491).

Легко показать, что в решении конечно-разностного уравнения должны появляться такие пилообразные осцилляции. Рассмотрим сначала дифференциальное уравнение (3.490), рещение которого показано на рис. 3.27, а. При и = О (течение





j/0.05CRe,= 2)

1 23456789 10 11

«./(/=0.05 0.04 0.033 0.01



Рис. 3.27. Аналитические п конечно-разностные решения стационарного линейного модельного уравнения Q =-и (дЦдх)а {д%1дх), включающего конвективный и диффузионный члены; J (0) = О, J(l)=l, ы == const. Решение с центральными конечными разностями, Ад;=/ю- Сеточное число Рейнольдса Re. = ы Ад;/а. а - аналитические решения; б - коиечно-разностные решения при Rcc 2; в - конечно-разностные решения при Rcg 2.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 [ 78 ] 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199