Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 [ 77 ] 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

при i = I можно применять следующее уравнение:

С- = Су +2 А/

Re б (/2

/ + Re

I. I

1-1. jJ

(3.485)

Эти способы были опробованы автором настоящей монографии, и при их помощи удалось добиться плавного изменения у выходной границы до тех пор, пока не появлялся срыв вихрей. Когда появляется срыв вихрей, составляющая скорости и может стать отрицательной при i == /, поэтому приведенные выше разностные формулы станут формулами с разностями по потоку, что приводит к неустойчивости. В этом случае для устойчивости следует ставить условие (3.478) Томана и Шевчика [1966]. Поскольку срыв вихрей происходит только при больших Re, схемы с разностями против потока в этом случае дадут несущественное улучшение.

Устойчивость схемы в целом теперь может определяться ограничением по числу Куранта, соответствующему применению разностей против потока, на границе В 6. Отметим, например, что в комбинации со схемой «чехарда», как эго имеет место в уравнении (3.485), величина эффективного шага но времени для конвективного члена и будет 2А/. Критерий устойчивости в одномерном случае будет Сх = uAtjAx /2. Однако, как показали Бао и Догерти [1969], разности против потока на границе В 6 можно применять в комбинации с неявной схемой метода чередующихся нанравлений без каких-либо ограничений на устойчивость. Другие комбинации должны быть проверены индивидуально.

Достаточность рассмотренного условия на выходной границе не была строго доказана даже для линейных дифференциальных уравнений в частных производных, однако некоторые выводы можно сделать из рассмотрения одномерной модельной стационарной задачи

-"l7 + S = 0. (3.486)

Применение разностей против потока для конвективного члена не накладывает каких-либо условий на выходной границе, а из рассмотрения члена, соответствующего диффузии в направлении оси X, в уравнении (3.484) следует, что при Ax->0

тх = . (3.487)

При ы > О и а > О этого граничного условия вместе с фиксированным значением величины £; на выходной границе достаточно для нахождения решения (см. задачу 3.29). Если же



а = 0 (т. е. Re = oo), то это условие иа выходной границе, поставленное для решения исходного дифференциального уравнения, делает задачу переопределенной и создает особенность в решении при а-►О (см. разд. 3.3.8). Однако в разностной схеме это условие используется только для диффузионного члена, и поэтому особенности в решении при а->0 здесь ие появляются. При аналитическом рассмотрении соответствующего аналога не существует даже для линейного модельного обыкновенного дифференциального уравнения. В другом предельном случае, когда и = 0 (Re = 0), уравнение (3.487) вообще не является граничным условием (см. задачу 3.29). Оказывается, что применимость иа выходной границе условия (3.484), соответствующего течениям при малых Re, ограиичеиа требованием Re > О и, возможно, некоторым минимальным сеточным числом Рейнольдса.

Идея применения разностей против потока на границе В 6 была также использована Фроммом [1967], а вычисление диффузионных членов в направлении х в точке /- 1 без сдвига по времени, как в описанном выше подходе, проводили Итон и Цумвальт [1967] при решении нестационарной задачи о сверхзвуковом течении. Заметим, что часто применяемая искусственная экстраполяция величины ut, в фиктивную точку / + 1 за сеткой и последующая аппроксимация б(и)/(3х[(и),-

- (u)/ i, ,]/(2Aa) при помощи центральных разностей только затуманивает суть дела. Алгебраически это эквивалентно применению односторонних разностей d{ul)ldx\,j = [{ul)u--

- (u)/ i,/]/Ах. Очевидно, такая аппроксимация ие дает второго порядка точности, как считают некоторые авторы, и будет неустойчивой, когда сорвавшиеся вихри достигнут границы В 6.

Было выполнено несколько систематических численных экспериментов по исследованию правильности граничных условий, поставленных в расчете на выходной границе для многомерных задач. Брили [1970] рассчитал два варианта, во втором из которых граница В 6 была отодвинута на пять узлов вниз по потоку. Используя условия (3.481) и (3.483), ои обнаружил, что величина вихря иа стенке во втором случае менялась менее чем иа 0.2%. Чен [1970] выполнил сравнительные расчеты для течения сжимаемой жидкости и обнаружил, как и следовало ожидать, что мягкие условия обычно дают более точные результаты. Следует также отметить, что даже если при помощи экстраполяции высокого порядка для г} и и можно добиться получения устойчивого решения, то, как правило, при этом результаты получаются менее точными, поскольку они основываются на значениях, вычисленных во внутренних точках, а не на точных значениях (Чей [1968, 1970]). Весьма желательны дальнейшие исследования многомерных случаев, основанные иа



сравнительных расчетах. При эшм должны быть опробованы не только ра.зличные условия па выходной границе, но и всевозможные их комбинации с различными условиями на верхней границе.

Для расчета течений невязкой жидкости Шапиро и ОБрайен [1970] (см. также Чарни [1962]) применили эффективный способ, который оказался точным, устойчивым и достаточно простым с точки зрения программирования. В данном способе следят за лагранжевой траекторией частицы, достигающей выходной границы, причем проводится линейная экстраполяция. Если предполагается отсутствие диффузии вблизи выходной границы, то величина вихря фиксирована для каждой частицы; согласно рис. 3.25, а, величина S/,V на выходной границе получается следующим образом:


о 4.

о i"

uAt-

Рис. 3.25. Способ Шапиро и ОБрайена опреде.чения вихря на выходной границе потока.

= £(,Г/-«Д/, у,-5 At)

(3.488)

(см. вывод схемы Лейта, разд. 3.1.13). Средние значения скоростей й и V вычисляются по значениям в соседних точках (например, при помощи экстраполяции или равенства й == Величина *(х*,(/*) определяется по соседним точкам. В качестве примера рассмотрим случай, когда й > О и и > О (рис. 3.25,6). Имеем

S = SA/ + iF(s;-K/-e,/). (3.489а)

S" = ?M-. + i (С,(3.4896)

(3.489В)

Если й я V также находятся с помощью иитерполяции, то вычисления могут оказаться «нечистыми»; в таком случае лучще всего вычисления проводить с помощью итераций.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 [ 77 ] 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199