Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 [ 75 ] 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

но конечных расстояниях от интересующей области. Плоткин [1968] и Иосидзава [1970] за функщти на границе расчетной сетки брали рещения уравнений пограничного слоя. Варжан-ская [1969] видоизменила это условие для уравнений пограничного слоя на большом расстоянии от интересующей области (область передней кромки плоской пластинки) и предложила «склеивать» уравнения Навье - Стокса и уравнения пограничного слоя, задавая непрерывность г, v~-д[р/дх и ди/дх- = -д\/дх. Это позволяет продвигать рещение уравнений пограничного слоя вниз но потоку, но не решает проблему условия на выходе для вихря в уравнениях Навье - Стокса, рассматриваемых в области вверх по потоку.

Фромм [1963, 1964], а также Гоэйн и Притчетт [1970] ставили периодические условия на входе и на выходе, единственным достоинством которых была простота математической постановки. Эти условия не соответствуют какой-либо реальной физической ситуации (за исключенпем задачи о свободной Однородной турбулентности) и оказались одним из источников неустойчивости, с которой столкнулся Фромм при больших значениях Re.

По-видимому, первое действительно успешное с вычислительной точки зрения «мягкое» граничное условие в выходном сечении предложили Парис и Уитекер [1965]. В задаче о течении в плоском канале они поставили условия v = -д\/дх = О и dt,/dx = О на выходной границе и обнаружили, что эти условия предпочтительнее задания параболического профиля, так как они позволяют значительно сократить размеры разностной сетки при той же точности в исследуемой области. Обозначая тах1 = / и опуская индекс /, эти граничные условия можно занисать в следующем виде:

% = 15;-ь (3.476а)

t, = Z,-i- (3.4766)

Впоследствии эти условия применили Бао и Догерти [1969] при решении задачи об обтекании плоской пластинки. Опыт автора настоящей монографии по решению одномерного модельного уравнения переноса в невязком случае при помощи трехслойной по времени схемы «чехарда» (разд. 3.1.6) показал, что если применять в этой схеме условпе (3.4766), то оно будет обладать дестабилизирующим свойством. Римон и Чен [1969], рассматривая схему «чехарда» и схему Дюфорта - Франкела (разд. 3.1.7) для вязких членов, ставили в следе за телом более жесткие условия

г1); = г1); ,, (3.477а)

S; = 0. (3.4776)



Опыт расчетов Аллена [1968] и Чена [1970] по решению уравнения Бюргерса подтвердил интуитивное предположение о том, что градиентное условие (3.476 б) для t, приводит к меньшим ошибкам на границе, чем задание функции , как в условии (3.4776)).

Томан и Шевчик [1966] предложили еще менее жесткие граничные условия на выходной границе потока. Они аппроксимировали условия dt,ldx = О и dvjdx = 0. Поскольку v - -д\р/дх, из второго условия следует равенство д\р/дх = 0. Тогда линейная экстраполяция при постоянном шаге Ах дает

= (3.478а)

г = 2г1)/ ,-г1); 2. (3.4786)

Эти условия имеют второй порядок точности, если полагать dt,ldx - О прн / /г, а дф/дх == О при /-1. Экстраполяция для г)/,; выполняется здесь после каждой итерации по методу Либмана при решении уравнения Пуассона. В более поздней работе Фромм [1967] ставил условие (3.4786), что дало ему возможность существенно увеличить интервал исследуемых значений Re по сравнению с предшествующей работой (Фромм [1963]), где задавались периодические граничные условия. Фромм также опробовал линейную экстраполяцию для постановки % на выходной границе и обнаружил, что такое условие обладает дестабилизирующим свойством в случае явных схем для уравнения переноса вихря. Автор настоящей монографии, применяя явные схемы, получил аналогичный результат.

В дальнейшем, применяя метод последовательной верхней релаксации для решения уравнения Пуассона, Кемпбелл и Мюллер [1968] и Роуч и Мюллер [1970] с успехом ставили условия Томана и Шевчика (3.478) в целом ряде задач.

В работах Хына и Макано (Хыи и Макано [1966], Макано и Хыи [1967]) задавались следующие условия на выходной границе;

ф/ = ф/ 4-21); з + 2а1); ь (3.479а)

S/ = ?/-4-2S;-3 + 2; ,. (3.4796)

Они получаются разложением в ряды Тейлора (с шагом 2Аа;) около точки / ~ 2 до членов второго порядка включительно. При таких условиях удалось получить решение задачи о течении около обратного уступа при Re = 333/2, вычисленном по высоте уступа Следуя Кавагути [1965], Хын и Макано [1966] выполнили расчеты с более простым заданием параболического профиля на Г5ы\п1п)п rpainme потока. Они зстановили, что это

1) См также ста1ью Варапаева [1969].



условие вполне удовлетворительно, хотя условия (3.479), конечно, лучше. Джакуинта и Хын [1968] брали условия (3.479) при исследовании течения неньютоновской жидкости (жидкости Рейнера - Ривлина).

Гринснэн [1969а] на выходной границе потока ставил следующие условия, предложенные Р. Мейером:

дфх = О, (3.480а)

dlldx - uRe{l-{-duldy) = Q. (3.4806)

Первое условие означает, что и - 0; с учетом этого равенства и при нредположении стационарности течения второе условие означает, что дР/ду = О, т. е. отвечает обычному условию, принятому в приблнженни пограничного слоя).

Экстраноляционное условие (3.4786) для \pi может оказаться ошибочным. Такая экстраполяция должна проводиться на каждой итерации при решении уравнения Пуассона. Роуч [1970] исследовал достаточность этого условия для нахождения решения. Пусть условия на входной границе при i = 1 фиксированы. Для одномерной задачи, описываемой обыкновенным дифференциальным уравнением dx/dx - 1,, экстраноляционное условие dx/dx = О на выходной границе либо противоречит указанному дифференциальному уравнению, если =7 О на выходной границе, либо просто совпадает с этим дифференциальным уравнением, если ? = 0. Значит, в одномерном случае такое граничное условие ставить вообще нельзя. В двумерном случае условие д-ф/дх = О сводит на границе уравнение Пуассона к обыкновенному дифференциальному уравнению

dldyl. (3.481)

1) Уравнение движения (2,2) в направлении у в безразмерных переменных имеет вид

дУ . ду ду дР . \ f ду . ду \ dt дх ду ~ ду Re \дх ду )

В случае стационарного течения при у{х,у) = О для всех х, у п прп dPJdy = 0 это уравнение упрощается:

„ дУ ду дх дх

Из определения ? = dv/dx - dujdy получаем dv/dx = S -)- du/dy, dv/dx = = dt,/dx + d{du/dx)/dy. В силу уравнения неразрывности du/dx = -dv/dy, поэтому d(du/dx)/dy =-dvjdy= 0. Таким образом, Яе u{t, +du/dy) = - dljdx. Конечно-разностная форма этого условия такова:

S = 2« ,Re(? + g-LjAx + S; 2.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 [ 75 ] 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199