Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 [ 74 ] 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

откуда

или окоичательио

1. /

(3.468)

Таким образом, иа входной границе потока фиксируются г) и ди/ду, в то время как величина t, = ди/ду - dv/дх иаходится по значению ди/ду на входе и при помощи уравнения (3.486).

Делались попытки использовать даже более «мягкие» условия, а именно получать величину dv/dx\ij линейной экстраполяцией вверх по потоку из внутренних точек или экстраполяцией Адамса - Бэшфорта. Такой способ при больших значениях Re оказался приемлемым, но неэффективным, при малых же Re он приводил к «блужданию» решения.

Одной из удобных форм задания и{у) иа входной границе является использование для этой величины (Роуч и Мюллер [1970]) одиопараметрического семейства профилей Польгаузена (см. Шлихтинг [1968]). Такой профиль, описываемый многочленом четвертого порядка, получается в результате интегрирования уравнений пограничного слоя. При этом параметр Польгаузена Л представляет собой безразмерный градиент давления, а координата ц определяется как отношение у/б, где б -толщина пограничного слоя. Профиль и имеет следующий вид:

и (В 4) = 2т1 - 2ц + ц + 7бЛ (т1 - 3ti2 + 3 - ц). (3.469)

Можно также брать профиль Блазиуса или профили Фолкнера- Скэн (Шлихтинг [1968]).

Возможны два способа задания дискретизированиых граничных условий во входном сечении потока. В первом способе берутся дискретные значения г, которые соответствуют решению дифференциальных уравнений во входном сечении. Эти значения получаются при помощи уравнения (3.469) вычислением интеграла, например, по формуле Симпсона:

г],,,,= 5 «(В 4)rfy.

(3.470)

Однако если затем численно продифференцировать чтобы найти «1,/, то полученные дискретные величины ы(1,/) не будут соответствовать решению н(В4) дифференциальных уравнений на границе В 4. Второй способ заключается в дискретизации решения ы(В4) и последующем определении fi,/ таким образом, чтобы это было совместимо с принятым конечно-разност-



ным представлением для uij, например Тогда будем иметь

г1),,/. = 0, (3.472а)

г1)1,/с+1 = 2ы1,/с+1 Аг/. (3.4726)

i,/ = 2«i,/ iA?/ + xl)i., 2. (3.472в)

При втором способе получаются правильные величины скоростей, но в результате дискретизации вносится ошибка в величины xfi,/. Очевидно, что оба эти способа сходятся при At/->-0. Поскольку наибольшее влияние на динамику течения оказывает и, а не г1), второй способ, заключающийся в задании во входном сечении потока профиля для и при допущении ошибок в величинах г, кажется предпочтительнее.

Заметим, что ошибка в г, обусловленная дискретизацией, приводит к возникновению ошибки при вычислении толщины вытеснения б* (Шлихтинг [1968]), если последнюю определять

по формуле

6*= lim

, , . (3.473)

Эта величина обычно используется для того, чтобы приближенно определить положение границы нограничного слоя, отмечаемой индексом е:

(3.474)

Чтобы получить результаты, согласующиеся с дискретными условиями на входной границе, необходимо находить 6* путем численного интегрирования (интегрирование известной функции) по формуле трапеций. Поскольку скорость и безразмерна, u = u/Uq, величина б* будет определяться интегралом

5-5(1

и) dy. (3.475)

Для соответствия всего численного решения результатам эксперимента необходимо, чтобы имело место соответствие граничных условий во входном сечении потока (см. Мюллер и ОЛири [1970], Феннинг и Мюллер [1971], Шавит и Лаван [1971]).

3.3.7. Условия на выходной границе потока

Определение значений и на выходной границе В 6 (рис. 3.22) является одной из наиболее интересных задач о вычислительных граничных условиях. Необходимо каким-то обра-



зом пренебречь деталями течения далеко вниз по потоку и при этом обеспечить получение реального решения в области вверх по потоку от этой границы. Опять же обратимся к эксперименту в аэродинамической трубе; если протяженность «рабочей части» достаточно велика, то течение в области далеко вниз по потоку не столь важно. Тем не менее опыт проведения расчетов показывает, что неустойчивость, зарождающаяся на выходной границе, может распространяться вверх по потоку и искажать решение. Наша цель заключается в постановке условий, дающих максимально допустимую свободу потока на границе В 6 и в тоже время обеспечивающих решение задачи.

Наиболее надежный с точки зрения устойчивости способ основан на полном задании условий на выходной границе. Том [1933], а также Аллен и Саусвелл [1955], Майкл [1966], Сон и Ханратти [1969], Гамилец и Рааль [1969] брали условия из решения, соответствующего потенциальному течению. Катсанис [1967] задавал на выходе (а также и на входе) равномерный поток с и = const и у = 0. Очевидно, такие условия непригодны для отрывных течений или для любых течений с вязким следом. Для течений при малых Re можно также взять решение Стокса или решение Озеена для дальнего следа, как это сделал Вараиаев [1968].

Общая идея постановки граничных условий, отвечающих бесконечности на наиболее удаленной границе разностной сетки, была предложена Ричардсоном [1910]. Кавагути [1965], Фридман [1970], а также Ли и Фын [1970] в выходном сечении брали, например, профиль Пуазейля. Заметим, что асимптотическое решение, используемое в качестве граничного условия, должно рассматриваться в переменных задачи; например, если конечио-разностные уравнения записаны в переменных и , то и решение Пуазейля должно быть записано для и 5- Если и задается по имеющемуся решению дифференциальных уравнений, а г!) находится при помощи квадратур, то при этом возникает ошибка в результатах, обусловленная дискретизацией (аналогичная ситуация возникает и в случае постановки условий на входной границе потока; см. предыдущий раздел). Для течений более общего вида, например таких, как асимптотическое течение в пограничном слое, решение дифференциальных уравнений будет отличаться от асимптотического конечно-разностного решения по всем переменным. На выходной границе предпочтительнее брать конечно-разностное решение асимптотического обыкновенного дифференциального уравнения (Кавагути [1965]).

Вместо того чтобы ставить граничное условие вниз по потоку, соответствующее «бесконечности», можно использовать асимптотические решения, применимые на достаточно больших,



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 [ 74 ] 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199