Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 [ 71 ] 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

воз.можных сиособон определения зпаченпп и промежуточной точке (/,/а+/г) является следующий:

h,a+.2=/2ikia+l + klal (3.451а)

НК 1а-,т=Ч2 т\ + («О. /.]. (3.4516)

Затем обычные пространственные разности по у в уравнении переноса вихря в точке {i, ja) заменяются разностями значений в этих полуцелых точках:

д - Гу • (3.452)

/a (Аг 2)2

(3.453)

Легко показать (задачи 3.24, 3.25), что определение значений (и),-, ,а+1/2 и Si, ,а+1/2 В полуцблых точках, как это делается в формулах (3.451), не согласуется с использованием центральных разностей в целых узлах пространственной сетки; для первых производных это не вносит ошибки, но выражение (3.453) снижает порядок точности до первого. Действительно, для простой одномерной задачи, когда в уравнение входит только член со второй производной, легко показать (задача 3.25), что сетка второго типа приводит на стенке к ошибке, связанной с нарушением ограниченности решения; в гидродинамических задачах эта ошибка, связанная со свойствами схемы, могла бы привести к иеправильному указанию на отрыв потока.

Определяя фиктивные значения и и в узлах, обозначенных на рис. 3.24, а крестиками и расположенных внутри твердой стенки, можно добиться известных удобств в смысле программирования и создать иллюзию второго порядка точности. Эти значения t, в узлах также размещены в общем двухиндексном массиве, отведенном для и обозначенном, скажем, через Z(I,J). Например, если стенка расположена на нижнем крае сетки, то элементы Z(/, 1) соответствуют значениям t, в узлах, обозначенных крестиками и находящихся внутри стенки, а элементы Z(/, 2)-значениям у,/а- Значения в узлах сетки, обозначенных крестиками, должны определяться после каждого вычислительного цикла для t, во внутренних точках так, чтобы удовлетворить надлежащему граничному условию в точках {i,w); при этом в точках {i,ja) используются такие же уравнения, как и в обычных внутренних точках. Этот способ расчета удобнее, но ограничен первым порядком точности. Поэтому применение сеток второго тина для расчета вихря ни в коем случае не рекомендуется.



Если сетку второго типа все-таки использовать для расчета вихря, то функцию тока определенно не следует рассчитывать на такой сетке. Условие прилипания Ми, = (б1])/6г/)и, = О может быть сведено к условию нулевого градиента = "фг,/а. При

этом возникает необходимость решать уравнение Пуассона с граничными условиями Неймана, что снижает скорость сходимости итерационного процесса. Еще важнее то обстоятельство, что этот прием не дает правильного значения ifi на стенке. Если такой прием дает значение fa, = О, то это означает, что 1]); Уа = 0 и в точках, расположенных на расстоянии Ап/2 над стенкой. В результате над стенкой как будто появляется неподвижный слой жидкости толщиной Ап/2. Таким образом, стенка окажется эффективно смещенной вверх на расстояние Ап/2 при расчете ф, но не при решении уравнений для , что, очевидно, приводит к несогласованности.

Основная трудность заключается в том, что при решении уравнения Пуассона нельзя одновременно использовать оба граничных условия = О я Uw - d\idy\ = О вдоль одной и той же границы, поскольку при этом задача становится переопределенной, так как для ее решения достаточно либо условия Дирихле, либо условия Неймана. Для уравнения Пуассона следует брать условие if 0. (См. также разд. 3.3.2 и задачу 3.27.)

Функцию 1]) необходимо рассчитывать на сетке первого типа, которая, как показано на рис. 3.24, сдвинута на Ау/2 относительно сетки для t,. Скорость конвекции вихря t, рассматривается в узлах -сетки и соответственно находится по значениям г? в узлах 1])-сетки следующим образом:

„,,,„*imZlM (3.454)

(обозначения те же, что на рис. 3.24). Можно сдвинуть 1{)-сетку относительно -сетки и в направлении х. Оказывается, что такой прием может даже привести к уменьшению ошибки аппроксимации при вычислении скорости, но при этом в решение уравнения Пуассона Уф = t вносится дополнительная ошибка. Для решения уравнения Пуассона требуются значения t, в узлах •ф-сетки; эти значения мы обозначим через Учитывая обозначения на рис. 3.24 (которые могут быть выбраны и иначе), значения 1+ можно найти осреднением значений t, в узлах -сетки; эти значения мы обозначим через t,. Тогда

Составляющие вектора скорости в узлах -сетки, обозначенные через и я v, находятся по значениям в узлах 1)з-сетки при



ПОМОЩИ следующих разностных формул:

Ay At/

(3.456a) (3.4566)

Условия на входной и на выходной границах потока также могут несколько усложняться. Например, при использовании сетки с шахматным расположением узлов значения ifi на входе должны быть заданы на прямой, отстоящей на расстояние Ах/2 от прямой, на которой заданы значения X, на входе, что снова приводит к несогласованности.

Сетка первого типа, очевидно, гораздо удобнее в применении, а также приводит к большей точности, и поэтому обычно рекомендуется использовать именно ее. Использование сетки второго типа для расчета и сетки первого типа (сдвинутой или с шахматным расположением узлов) для расчета г)) обладает тем преимуществом, что здесь не требуется специального исследования узловой точки С, расположенной в вершине выпуклого угла (см. рис. 3.22 в разд. 3.3.2.а). Но это преимущество минимально, и поэтому для расчетов на стенке рекомендуется брать исключительно сетку первого типа.

3.3.4. Линия симметрии

Если центральная граница В 1 на рис. 3.22 является разделяющей твердой пластиной, то на ней ставятся такие же граничные условия, как и на твердой стенке с условием прилипания. Если считать, что на этом рисунке представлена только верхняя полуплоскость симметричного течения около плоского уступа, то на прямой В 1 по-прежнему необходимо поставить условие г)) = О, имеющее смысл только для докритических решений задачи о следе), В этом случае прямая В1 играет роль разделяющей пластины с условием скольжения, а граничное условие для вихря имеет очень простой вид. На всей централь-йой линии у = О, и поэтому dvjdx = 0. Далее, поскольку ско-

) В случае закритическнх режимов, когда возможно появление осцилляции и асимметрии в следе, необходимо рассматривать полную область, вводя кроме верхней границы еще и нижнюю границу (которая симметрична границе ВЗ относительно прямой В 1; см. рис. 3.22). При этом точки сетки, лежащие на центральной лннни, будут представлять собой регулярные внутренние точки.

Для исследования гидродинамической устойчивости может представлять интерес расчет закрнтнческого режима; в этом случае условие симметрии накладывается даже при закритнческих значенинх Re.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 [ 71 ] 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199