Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 [ 70 ] 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

) Израэли [1972] определяет t/ итерационным путем (при Помощи нижней релаксации) так, чтобы на каждом временном слое выполнялось условие Ь1Ьп\„ = 0.

Необходимо сделать замечание о возможной переопределенности граничных условий. Для простоты рассмотрим некоторое течение в замкнутой полости, все стенки которой неподвижны. Если стенки, параллельные оси х, непроницаемы и на них удовлетворяется условие прилипания, то на них « = О и и = 0. Записывая эти условия через функцию тока г), приходим к следующим соотношениям: dildx = -v - О, откуда получаем, что

= const (скажем 0) вдоль стенки и д-1ду = « = О по нормали к стенке. Если рассматривать одно уравнение Пуассона у2г) = , то каждое из этих двух условий явится достаточным граничным условием для нахождения решения. Очевидно, для уравнения Пуассона нельзя брать оба условия одновременно, так как это делает задачу переопределенной. Но условия г)ш = О не достаточно для того, чтобы определить вихрь на стенке; здесь, как и при выводе формул (3.435а) или (3.439), необходимо также использовать условие d-i/dy\w - 0. Поэтому за неимением иного граничного условия для вихря t, используется градиентное условие д-1ду\ = , а условие г)ш = О берется для уравнения Пуассона для г). Это единственно правильное распределение данных условий. (См. также задачу 3.27.)

Несколько смущает то обстоятельство, что численное решение для г) не удовлетворяет) условию бг)/бг/= (г)и,+1 - - г)а,)/Дг/= 0. Этот парадокс возникает из-за того, что для бг5/бг/и, используется формула первого порядка точности, в то время как решение полного уравнения ищется со вторым порядком точности. Если вместо системы двух уравнений второго порядка (для if) и ) рассматривать одно уравнение четвертого порядка для г), то для конечно-разностного уравнения потребуются и будут удовлетворяться оба условия для г)ш и d-ldy\w. Таким образом, может показаться, что решение одного уравнения четвертого порядка будет более точным, по крайней мере в отношении граничных условий. Однако производные четвертого порядка по пространственным переменным в окрестности стенки необходимо аппроксимировать нецентральными разностями, и тогда полученные разностные формулы не будут соответствовать выражению бг)/бг/1w = (I+i - ш)1А.у; значит, даже при конечно-разностном представлении четвертого порядка опять получается г)и,+1 Ф -фа,.

Следует сделать замечание и относительно определения точек отрыва и вторичного присоединения потока к стенке. Легко показать, что в дифференциальных уравнениях %w ~ как в точке отрыва потока, так и в точке вторичного присоеди-



нения. Если известны значения t,w, то положение точек, где t,w = О, можно найти интерполяцией. Но такие ироинтернолиро-ванные значения будут не лучше, чем рассчитанные значения на стенке, а, следовательно, положение точек отрыва и вторичного присоединения потока нельзя определить с большой точностью. Способ определения указанных точек по полученному решению должен, конечно, рассматриваться в любой работе (Лаван с соавторами [1969], Роуч и Мюллер [1970], Шаве и Ричарде [1970]).

В заключение отметим, что рассчитанные величины вихря на стенке можно использовать для определения граничной ошибки, связанной с некоторым нарушением свойства консервативности решения, что может служить для проверки сходимости анироксимации. (См. задачу 3.32.)

Упражнение. Вывести ) формулы первого и второго порядка точности для вихря на параллельной оси х стенке, если стенка а) движется с заданной скоростью Ыш = и„, Vw = 0; б) является проницаемой, причем задана скорость вдува (отсоса) =V» и = 0.

В работе Тейлора [1970] указано, что вдув через стенку может привести к численной неустойчивости.

3.3.3. Стенка в других расчетных сетках

В методе Робертса - Вейса (разд. 3.1.19) применяется система из двух сеток, разнесенных во времени с шахматным расположением узлов. Аналогичный вид имеют сетки, разнесенные в пространстве {гибридные сетки), где некоторые переменные определяются на одном наборе узлов, а остальные переменные- на сетке, смещенной но диагонали относительно первой (Харлоу и Фромм [1954]; Фромм [1963]; Уильяме [1969]; см. также разд. 3.7.3). Используются также сдвинутые сетки, когда одна сетка сдвинута на половину пространственного шага относительно другой, причем сдвинута вдоль координатной линии, а не вдоль диагонали. При сетках всех этих трех видов вихрь определяется в узле, отстоящем на Ап/2 от стенки, как показано на рис. 3.24, а.

Для расчета вихря t, не рекомендуется брать сетки второго тина. При постановке задачи здесь требуется некоторая осторожность, иначе несогласованное вычисление t,w приведет к тому, что стенка будет эффективно смещена на А«/2 (Фромм [1967]). Даже если вычисления проводятся надлежащим обра-

) Заметим, что наличие движущейся стенки приводит к появлению дополнительного члена 2[/ш../Лп в формуле первого порядка для „ и дополнительного члена Зи„/Ап в формуле второго порядка.



3.3.3. Стенка в других расчетных сетках 225

зом, сетка второго типа, как будет показано ниже, приводит к снижению точности для t,.

Условие прилипания должно выполняться на стенке, а не в ее окрестности. На рис. 3.24 вихрь в точке (i,/а), соседней со стенкой, рассчитывается по уравнению переноса вихря. При

+ + +

- +-+- + -

IhJ"] [ija]

Рис. 3.24. Различные сетки для расчета стенки, а - сетка для вихря t,; б - сетка для функции тока г); в - сдвинутые сетки: светлые кружки - узлы сетки для вихря g, крестики - узлы сетки для функции тока г - гибридная сетка с шахматным расположением узлов: темные кружки - узлы сетки для вихря I, крестики - узлы сетки для функции ф.

помощи формулы (3.435), где An заменяется на Ап/2, в точке w, не являющейся узловой точкой, находится значение вихря на стенке t,w с первым порядком точности:

к /а-1/2 - . = + о {Апт. (3.450

(Можно также брать и формулу второго порядка точности.)

Для того чтобы получить конечно-разностное представление для производных в точке {i,ja), смежной со стенкой, необходимо взять какую-либо схему с несимметричными разностями. Эта необходимость приводит к снижению точности. Одним из



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 [ 70 ] 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199