Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 [ 7 ] 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

-- + aU. (2.17)

малыми, но отличными от нуля, числами Рейнольдса применение соответствующих масштабов времени будет уменьшать ошибки округления, которые могут оказаться существенными при расчетах на некоторых вычислительных машинах. Использование уравнения (2.12), основанного на конвективном масштабе времени, имеет также то преимущество, что радиус-вектор частицы (лагранжева координата) г = Го--УЛ сохраняет при этом свою форму в безразмерных переменных, т. е. г = Го -f Wdt.

Для уравнений, описывающих другие течения жидкости, более подходящими могут оказаться другие масштабы времени. Например, в задаче об устойчивости естественной конвекции У. Кроули [1968] вводит четыре характерных времени, связанные с диффузией, конвекцией, средним градиентом вихря и архимедовой силой. Однако для наших целей будет достаточным уравнение (2.12), основанное на конвективном масштабе времени.

Упражнение. Записать в безразмерном виде уравнения (2.1) и (2.2), используя конвективный масштаб времени и вводя безразмерные скорости и расстояния так же, как в равенствах (2.11). Отнести при этом давление к удвоенному «динамическому напору», т.е. положить Р = рДр(/ц).

Упражнение. Записать уравнение (2.1) в консервативной форме т. е. преобразовать конвективный член V-(V«) к дивергентной форме v (Vu).

2.5. Одномерные модельные уравнения переноса

Уравнение переноса вихря как в неконсервативной, так и в консервативной форме (2.12) является параболическим по времени, содержит две независимые пространственные переменные и связано с эллиптическим уравнением Пуассона для функции гока (2.13) через нелинейные конвективные члены. Исследование устойчивости конечно-разностных аналогов этих уравнений, в котором принимались бы во внимание все перечисленные выше свойства уравнений, до сих пор не проводилось. Тем не менее можно изучить многие аспекты поведения уравнения переноса вихря и выявить существенные черты многих конечно-разностных схем, рассматривая любое из двух одномерных модельных уравнений переноса, приведенных ниже.

Первым модельным уравнением переноса является линеаризованное одномерное уравнение с конвективным и диффузионным членами (Аллен 1968], У. Кроули [1968а]), записанное либо в консервативной форме

df ~ дх ""дх



дГ~ Жд

где и рассматривается как обобщенная скорость. Это уравнение сохраняет нелинейность уравнения переноса вихря и уравнений Навье -Стокса. Благодаря своей нелинейности оно может служить модельным уравнением для изучения как турбулентности, так и ударных волн (см. разд. 4.7). На этом уравнении могут быть также исследованы различные конечно-разностные схемы (Рихтмайер [1963], Аллен и Чен [1970], Б. Кроули [1967], Фройдигер и др. [1967], Гринспэн [1967], Аллен [1968], Чен [1968], У. Кроули [1968а], Кофоэд-Хансен [1968]). Эквивалентная консервативная форма этого уравнения такова:

ди д и , ди ...

-дГ=-ЖЧ- + Ъ- (2.20)

Поскольку известны некоторые аналитические решения уравнения Бюргерса, оно может служить для демонстрации преимуществ консервативной формы конечно-разностных уравнений.

Читатель должен помнить о том, что хотя изучение одномерных модельных уравнений удобнее и нагляднее, однако при этом накладываются значительные ограничения. Многие аспекты вычислительной гидродинамики по существу определяются размерностью, причем одно-, двух- и трехмерные задачи оказываются качественно различными. Эти вопросы будут обсуждаться в последующих главах.

) Эти одномерные уравнения не являются уравнениями переноса вихря (в одномерном однородном потоке вихря не существует), но тем не менее моделируют некоторые аспекты многомерных уравнений. Физически эти уравнения описывают конвекцию и диффузию одной окрашенной жидкости в другой (например, чернил в воде) - в пятидесятых годах Лелевье называл уравнение (2.18) «цветовым уравнением» (см. У. Кроули [1968а1),

либо в неконсервативной форме

В этих уравнениях Z, моделирует вихрь или какую-либо другую конвективную и диффузионную величину), а - обобщенный коэффициент диффузии, соответствующий величине 1/Re в уравнении переноса вихря, « - линеаризованная скорость конвекции. Если не оговорено противное, то и постоянна по х, хотя уравнение (2.17) может быть использовано и для изучения эффектов устойчивости в случае, когда и = и{х).

Вторым модельным уравнением переноса является уравнение Бюргерса (Бюргере [1948], Хопф [1950], Родин [1970])

ди ди . ди

=-" + а. (2.19)



Глава 3

ОСНОВНЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ДВИЖЕНИЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

в этой главе рассматриваются основные численные методы решения задач о течении несжимаемой жидкости в области с регулярными границами, покрытой прямоугольной конечно-разностной сеткой. Многое из изложенного здесь будет применимо и в задачах о течении сжимаемой жидкости, поскольку для уравнений переноса в обоих случаях используются одни и те же модельные уравнения. Свойство консервативности и другие определенные здесь свойства, обсуждение роли граничных условий, а также исследование устойчивости и сходимости в равной мере огносягся и к задачам о течении сжимаемой жидкости.

Прежде чем погрязнуть в изучении деталей, частных задач, вариантов и второстепенных вопросов, стоит, вероятно, описать в общих чертах всю процедуру решения полной задачи гидродинамики. Для конкретности мы опишем вычислительный цикл только для простейшего подхода, основанного на решении нестационарных уравнений.

Исследуемая область течения покрывается конечно-разностной сеткой. Конечно-разностное решение будет определяться в узлах сетки, лежащих на пересечении линий сетки.

Решение начинается с того, что во всех узлах сетки в момент времени = О ставятся начальные условия для функций а]), Z,, и и V. Эти начальные условия могут соответствовать некоторой реальной начальной ситуации (если речь идет о решении нестационарной задачи) или некоторому грубому приближению к стационарному решению (если речь идет только об установившемся режиме).

Далее начинается вычислительный цикл, когда для приближенного определения dQ/dt во всех внутренних точках рассчитываемой области используется некоторый конечно-разностный аналог дифференциального уравнения переноса вихря (2.12). Новые значения t, вычисляют на новом временном слое, соответствующем приращению времени Д, продвигая уравнения переноса вихря по времени, например полагая (новое ) = (старое t,) + -f At-d/dt. Следующим шагом вычислительного цикла является



0 1 2 3 4 5 6 [ 7 ] 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199