Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 [ 68 ] 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

ДуЗ+0(Дг/П. (3.434)

I 1 д 6 <Эг/3

1. 1с

Но dldy\i, ,с = Ui, 1С =в силу условия прилипания, а d-\ldy\i, 1С = duldy\i, 1с\ кроме того, t, = ди/ду - dv/dx. Поскольку и = const (т. е. v = 0) вдоль стенки, dv/dx\,, ic = 0. Таким образом, duldy\i ,с = ti, ic- Подставляя эти выражения в (3.434) и разрешая относительно ,с с учетом условия г, ;с = 0, получаем ;с = 2г},, ;с+1/Дг/ +0(Дг/). Независимо от ориентации стенки и от значения г} на границе можно записать

и = -НР+0(Д/г), (3.435а)

Где Д/г - расстояние по нормали к стенке от ближайшей к стенке узловой точки ш + 1 до ее проекции w на стенку.

Такое условие первого порядка было впервые предложено в 1928 г. в работе Тома [1928, 1933] и широко используется до настоящего времени. Это условие очень надежно и часто приводит к результатам, достаточно хорошо согласующимся с результатами, полученными при помощи форм высших порядков граничного условия для вихря); см., например, эксперименты Эша, описанные в работе Пирсона [1965а].

Как было указано в гл. 2, альтернативное определение вихря в виде t, - -t, = -dujdy dv/дх не меняет форму уравнения переноса вихря. Но при этом принятый знак «войдет» в расчет переноса вихря через граничные условия, и аналогом соотношения (3.435а) будет

С = - i:,2"" + о {An). (3.4356)

Сохраняя в разложении (3.434) члены порядка Ау, Вудс [1954] предложил формулу второго порядка точности для граничного условия для вихря на твердой стенке. Дифференцируя выражение, определяющее вихрь, получаем

ду ду дудх ду дх ду \Л.Ч:60)

1) В самом деле, для профиля Блазиуса в пограничном слое на стенке dyljijdy = ди/ду - О, численные расчеты показывают, что в этом случае разностные формулы первого порядка приводят к более точным результатам, чем разностные формулы второго порядка.

Значение вихря на стенке получается из условия прилипания. В качестве примера рассмотрим границу В 2 и запишем разложение i,ic+\ в ряд Тейлора в окрестности точки {1,1с):



Из уравнения неразрывности (2.3) имеем dvjdy = -ди/дх. Учитывая это и записывая (3.436) на стенке, находим

<Э4

(3.437)

Второй член duldxlw равен нулю в силу условия ирилинания (н = const = 0). Член dt,/dy\u, вычисляется но схеме с разностями назад, имеющей первый порядок точности:

Н + 0(Ду) = Г[. (3.438)

Подставив это выражение для дхр/ду] в уравнение (3.434) и разрешив относительно t,w, получим условие Вудса для вихря на стенке:

U = ";Г" - у U+I + о М. (3.439)

Условие Вудса с успехом использовал Расселл [1963]; см. также работы Лестера [1961] и Майкла [1966]. Хын и Макано [1966] независимо вывели условие (3.439) и применили его для расчета течений при умеренных числах Re (Re » 300); аналогичное условие было получено и автором этой книги. Теоретические расчеты П. Дж. Тейлора [1968] указали на возможную неустойчивость, связанную с этим условием, при больших сеточных числах Рейнольдса. В ходе численного эксперимента Ранчел с соавторами [1969] снова независимо пришли к условию (3.439).•Используя итерационные методы для расчета стационарных течений, они (Ранчел с соавторами [1969]) обнаружили, что данная форма граничного условия второго порядка, вероятно, приводит к расходимости, особенно при больших Re и при переменных Дг/.

Формулу второго порядка для 1 в осесимметричном случае оценивали Люгт и Римон [1970], сравнив ее с точным решением задачи об обтекании сплюснутого эллипсоида вращения; к сожалению, это решение пригодно только при Re = 0. Они рассмотрели выражение, включающее нестационарный член dt,w/dt. Записанное через локальный радиус кривизны Гс, это выражение имеет следующий вид:

1-Л,/(20-ЬЗД,7(8.2) +()- (3-440)

При Гс-> 00 получается условие, соответствующее обтеканию плоской пластинки и отвечающее условию Вудса (3.439) с добавлением нестационарного члена. Даусон и Маркус [1970] установили, что нестационарный член dQ/dt в условии (3.440) «весьма сильно снижает устойчивость и должен быть опущен».



Если эту формулу применять вместе с условием (3.441), то расчеты, проведенные по неявной схеме метода чередующихся

) Бёрдсли [1969] установил, что наилучшей формулой, совместимой с глобальным сохранением физических величин в осесимметричном случае, является выражение li = (2/- 1)ф;-1/[(/-Д)], где л =/Ал-максимальный радиус. Прн больших / (л->оо) это условие переходит в условие (3.435).

Наиболее часто используемая формула второго порядка точности для граничного условия для вихря была впервые предложена Йенсеном [1959], а позднее Пирсоном [1965а]. Эта формула получается аппроксимацией значений г} в окрестности стенки полиномом третьего порядка с условием d/dy\w = = «ш = О и имеет вид (см. также Брили [1970])

-7 + 8w.-W + о (Ду2). (3.441)

Эту формулу позже применяли Уилкс и Черчилл [1966] для решения задачи о свободной конвекции при малом числе Грасгофа, но когда Сэмюеле и Черчилл [1967] продолжили эти расчеты, они обнаружили, что решение неустойчиво, и вернулись к условию первого порядка точности (3.435). Вероятно, при больших числах Рейнольдса расчеты Йенсена [1959] также были бы неустойчивы. Расчеты Торраиса [1968] и расчеты Бао и Догерти [1969[, в которых использовалось условие (3.441), тоже ограничивались умеренными числами Рейнольдса; см. также работы Саусвелла [1946], Париса и Уитекера [1965[. В дальнейшем при сравнении решения осесимметричной задачи о вращающемся цилиндре с точным решением в одномерном случае Бёрдсли [1969] обнаружил, что формула Йенсена (3.441) даже в случае, когда она устойчива, приводит в действительности к менее точным результатам, чем условие первого порядка ).

До последнего времени было широко распространено мнение (предрассудок?), что неустойчивость условия (3.441) как-то связана с тем фактом, что в нем используется информация из точки w-\-2, а. такие схемы считались обреченными иа неудачу. В работе Брили [1970[, внесшей в этот вопрос ясность, было доказано, что это мнение неверно. Брили отметил, что представление г} в виде многочлена при выводе условия (3.441) не согласуется с определением и = dijp/dy в точке w -\- I, если пользоваться центральными разностями; требование согласованности здесь приводит к необходимости использовать для определения и следующую специальную формулу (только в точке ш+ 1):

-5M,-b4w,-b W + о {Ау). (3.442)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 [ 68 ] 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199