Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 [ 66 ] 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

) Либо функциональные формы выбираются таким образом, что граничные условия точно удовлетворяются, а невязка дифференциального уравнения в частных производных минимизируется. Возможно также, что не удовлетворяются ни граничные условия, ни дифференциальные уравнения, а минимизируется комбинация ошибок на границах и невязки уравнений (личное сообщение А. Руссо).

рыми другими т-параметрическими функциональными формами. Функциональные формы обычно выбираются таким образом, чтобы удовлетворить дифференциальным уравнениям во внутренних точках (что не трудно для уравнения Лапласа), а т параметров (или коэффициентов полиномов) находятся при помощи минимизации ошибок на границах методом наименьших квадратов). Как правило, от этих методов не следует ожидать успеха, особенно когда ф меняется не монотонно, и их не рекомендуется использовать в вычислительной гидродинамике. Но если эти методы применяются, то определение и и у должно быть согласовано с выбранной аппроксимирующей функциональной формой.

3.2.11. Об оценке рассмотренных методов

Замечания, сделанные в разд. 3.1.23 относительно оценки методов решения уравнения переноса вихря, применимы также к оценке методов нахождения решения и конечно-разностным представлениям уравнения Пуассона. Следует также учесть замечания, сделанные в предыдущем разделе относительно согласованности уравнения Пуассона для функции тока и уравнения переноса вихря как в отношении порядка ошибки аппроксимации, так и в отношении вычисления скоростей.

Наконец, при оценке быстроты проведения серийных расчетов в зависимости от сложности метода и времени разработки программы необходимо рассматривать оба эти уравнения вместе. Если при решении уравнения Пуассона для функции тока у2г5 = используются итерационные методы, а в уравнении переноса вихря для dt,ldt берется простейшая одношаговая явная схема, то при нестационарном подходе обычно около 90% машинного времени затрачивается на решение уравнения Vi) = . Поэтому, если при представлении д%,1д1 перейти к двухшаговой явной схеме (например, к схеме Аллена - Чена из разд. 3.1.15), то машинное время при решении всей системы уравнений для г5 и не удвоится, а только увеличится приблизительно на 10%. Тогда отношение скоростей расчета по схеме с разностями против потока и по схеме Робертса - Вейса четвертого порядка точности (разд. 3.1.19), равное 45, при решении всей системы уравнений для \ nt, намного уменьшится (хотя и останется все еще значительным) и станет равным примерно 6.



Аналогично, число итераций, необходимых для сходимости решения уравнения Vф = , отчасти зависит от начального приближения для /. В качестве начального ириближения для 115"+ при решении уравнения Vф"+ = "+ естественно брать ранее нолученное решение уравнения Vг}" = 1,". При больших

величина сушественно отличается от и тогда я];" будет уже недостаточно хорошим начальным ириближением для В пределе при Д->0 вихрь а начальное приближение

(Это наблюдается и при ириближении к стационарному состоянию.) Таким образом, выигрыш в машинном времени за счет увеличения допустимых шагов At при использовании неявных схем для dt,/dt но меньшей мере частично теряется из-за увеличения времени, требуемого для каждого шага итерационного решения уравнения Vij: = а также из-за дополнительного времени вычислений за счет неявности самой схемы. Иллюстрируя это, Фромм [1964] привел ряд примеров расчетов, в которых в определенных пределах машинное время практически не зависело от At\

При исиользовании прямых методов решения уравнения Vit = £, возникает противоположная ситуация. Прямой метод расчета вектора расиространения ошибки (разд. 3.2.8) приводит к уменьшению машинного времени, необходимого для решения уравнения 7115 = , приблизительно в 100 раз; это значит, что на решение этого уравнения теперь потребуется только 10% машинного времени, а на расчет dt,/dt но одношаговой явной схеме - около 90%. Если же для расчета dt,/dt использовать двухшаговую схему Чена - Аллена, то полное машинное время почти удвоится, а схема Робертса - Вейса четвертого порядка точности окажется приблизительно в 40 раз медленнее схемы с разностями против потока. С другой стороны, увеличение допустимой величины шага Д (если не учитывать донолни-тельного усложнения самого уравнения для dt,/dt) неносред-ственно приводит к сокрашению машинного времени, так как время решения уравнения Уя]: = t, при номоши прямого метода не зависит от выбора начального приближения для .

Выбор между итерационными и прямыми методами определяется также видом граничных условий. Если на всех границах ставятся условия тина Неймана, как, например, при решении уравнения для давления (разд. 3.5), то итерационный процесс сходится очень медленно. Если же уравнение для давления желательно решать на каждом шаге но времени, то прямые методы оказываются более эффективными.

Рассмотренные здесь методы, конечно, применимы не только для уравнений для функции тока и давления, но и для других гидродинамических задач, описываемых уравнением Пуассона. Например, в работе Розенбаума [1968] приведен расчет невяз-



кого потенциального течения. Итерационные методы для нелинейных уравнений эллиптического типа рассматривали Эймс [1965, 1969] и Лик [1969].

3.3. Граничные условия для уравнения переноса вихря и уравнения для функции тока

Нетрудно представить себе некоторые типы правдоподобных граничных условий для я]; и , но попытки определить реальные точные условия, приводящие к устойчивым решениям, могут оказаться весьма неудачными. Было обнаружено, что адекватность любого граничного условия, определенного при помощи численных экспериментов, может зависеть от числа Рейнольдса, разностных схем, используемых во внутренних точках, других граничных условий, а иногда и от начальных условий. Многочисленность этих факторов затрудняет аналитические исследования и ограничивает их применимость. Тем не менее в этом направлении известен целый ряд работ; см., например, Эдди [1949], Кист и Митчелл [1967], Кемпбелл и Кист [1968], П. Дж. Тейлор [1968, 1969, 1970] и Чен [1968, 1970].

Для многих задач отсутствуют математически строгие решения. Наши выводы в основном будут основываться на интуиции, на экспериментах г. аэродинамических трубах и на численных экспериментах. Большинство численных экспериментов по исследованию граничных условий осуществлялось при помощи простых двухслойных явных схем для уравнений переноса вихря. Заметим, что известно несколько случаев, когда те же граничные условия, взятые в иных схемах, приводят к неустойчивости. (Термин «неустойчивость» используется здесь в смысле отсутствия сходимости итераций, а не обязательно в смысле экспоненциального роста ошибки.) Эти примеры могут служить предостережением от применения таких существенно частных методов. В данной связи мы предлагаем на начальном этапе построения вычислительного алгоритма для отладки программы и выяснения устойчивости схемы, применяемой во внутренних точках, брать граничные условия, которые имеют наинизший порядок и являются наиболее ограничительными. Затем можно будет попробовать граничные условия, накладывающие меньшие ограничения.

Большинство задаваемых граничных условий являются или условиями типа Дирихле (задано значение функции), или условиями типа Неймана (задан градиент функции по нормали к границе). До настоящего времени гидродинамические задачи с условиями смешанного типа (условия Роббина), где задана



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 [ 66 ] 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199