Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 [ 65 ] 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

на пятиточечном шаблоне «крест». Для случая квадратной сетки его можно схематически представить как на рис. 3.21, а, что соответствует уравнению

8>-Ц,,1 = А%,,/, (3.424)

которое имеет второй порядок точности относительно А и в котором

5, = , -f :-и I + 1+1 + г, /-.• (3.425)

Так как оператор Лапласа инвариантен относительно поворота системы координат, его можно записать в системе координат, повернутой на 45 но отношению к линиям сетки, так что

1 -I

2 1 -

г 1 4 1-1

-12 2

4 -20 4

2 1 -

- 1 4 1-

Рис 3 21 Схематичное представление конечно-разностного аналога лапласиана на сетке с квадратной ячейкой, а - пятиточечный шаблон «крест»; б - пятиточечный диагональный шаблон, в - девятиточечный шаблон с коэффициентом 12, г - девятиточечный шаблон с коэффициентом 20.

расстояние между узловыми точками будет равно у2А. Полученный в результате оператор, построенный на пятиточечном диагональном шаблоне и схематически представленный на рис. 3.21,6, соответствует уравнению

S2-4b.i = 2AXLi, (3.426)

которое имеет второй порядок точности относительно V2A и в котором

2 = 1 + и 1+1 + /-1 + /-1, /+1 + (3.427)

Из девятиточечных шаблонов наиболее известными являются «шаблон с коэффициентом 12» Тома (рис. 3.21, s) и «шаблон с коэффициентом 20» Бикли (рис. 3.21, г). Первый из них соответствует уравнению

2S, 82-121.1 = 4%. I, (3.428)

а второй - уравнению

ASi + S2-20b,j = Q%, ,.

(3.429)



+ i - ,--2, /] + о (Ах), (3.430)

и соответствующую формулу для 8\!р/8у (см. также работу Фейервезера [1969]). Перейра [1969] в своем методе «итерированных отсроченных поправок» рассмотрел разностные формулы асимптотически высокого порядка точности.

Здесь важно понимать, что (как и в случае уравнения переноса вихря в разд. 3.1.23) локально четвертый порядок точности не означает глобальной точности. Последняя может существенно зависеть от точности задания граничных условий, которая, как правило, далека от четвертого порядка (см. разд. 3.3). Кроме того, схемы, подобные разностной формуле (3.430), невозможно использовать в точках, смежных с граничными, так как при этом требуется информация из точек вне разностной сетки. При расчете точек, смежных с граничными, исследователи обычно обращаются к формулам второго порядка точности). Более рационально в приграничных точках локально использовать схемы более низкого порядка точности на мелкой сетке, а вдали от границы применять схемы более высоких порядков на грубой сетке. Такие методы были рассмотрены Бахваловым [1959]. В любом случае точность решения уравнения V = t,

) Многие исследователи используют вблизи границ схемы четвертого порядка точности, вводя вне рассчитываемой области фиктивные точки сетки, значения в которых ставятся в соответствие граничным условиям. Даже в этом случае происходит потеря четвертого порядка точности, за исключением случаев, когда граница представляет собой ось (плоскость) симметрии. Известны и нецентральные формулы высокого порядка точности (например, Саусвелл [1946]), но они менее устойчивы и редко используются.

Формула Тома имеет четвертый порядок точности только тогда, когда /\2{V + д/дхду) не превышает 0{А), а формула Бикли только при /laVil; = 0{А). В гидродинамических задачах такие условия обычно не выполняются. Исключением является стационарное течение Стокса (Re = 0), когда уравнение переноса вихря сводится к уравнению Лапласа V = О, что соответствует уравнению Vi]: = 0. В общем случае эти девятиточечные разностные формулы оказываются даже менее точными, чем разностная формула, построенная на пятиточечном шаблоне «крест» (см. Сайрус и Фалтон [1967], Йенссен и Стреде [1968]).

Локальной точности более высокого порядка реально можно добиться при помощи разностных формул, в которых используются значения я]; не только в смежных, но и в более удаленных узловых точках, например значения ф<+2,/ Йенссен и Стреде [1968] рассматривают некоторые из них, такие, как



) Точнее, пятиточечная схема для лапласиана соответствует определению скоростей на границах ячейки между узлами (см. разд. 3.1.2), как в уравнениях

«г, ш12-{1. /+, - Фг, /)/Ду. (3.433а)

"../-./2 = (Фг,/-Фг, /-ОЛ. (3-4336)

причем значения в узловых точках находятся следующим образом:

«(,/ = /г(«(,у+,/2 + «г,/-1/2)- (3.433b)

будет, конечно, ограничена точностью решения уравнения переноса вихря и точностью граничных условий для него, поэтому рекомендуется получать решение равномерно высокого порядка точности для всей задачи в целом.

Итерационные методы, онисанные ранее, применимы и в случае рассмотренных разностных формул для лапласиана, хотя скорость сходимости может при этом измениться. Здесь можно приспособить и некоторые прямые методы (Лебейль [1969], Роуч [1971а, 19716]), но в этом отношении они обычно оказываются менее гибкими, чем итерационные методы.

Наконец, остановимся на вопросе согласованной аппроксимации при дискретизации уравнения Пуассона и при определении скоростей. Решение уравнения Пуассона для г; используется только для определения скоростей конвекции, входящих в уравнение переноса вихря. Уравнение Пуассона Уг5 = представляет собой не что иное, как онределение вихря и в дискретизированной форме будет записываться так:

E = lf-e. Р.431)

где и ~ б-/бу я V = -бг5/бг/. Решение уравнения V4 = I следует рассматривать не как решение для г5, а как решение для 6т/6х и б1)/бг/. Только пятиточечная схема для оператора Лапласа, по которой записано уравнение (3.365), соответствует разностным представлениям для и и у со вторым порядком точности )

Ui. i = {i. /+. - i, /-,)/(2 Аг/), (3.432a)

Vi. I = - {i + u I - b-u i)/i2 Ax). (3.4326)

Если ланласиан представляется по схемам более высокого порядка, то может оказаться, что точность решения полной задачи фактически снизится, если и и у не аппроксимируются согласованно с тем же порядком точности, что и ланласиан.

Аналогичные замечания относятся и к методам наименьших квадратов для решения уравнений эллиптического типа (например, Дэвис и Рабинович [I960]). В этих методах величины г5 анироксимируются нолиномами высокого порядка или некото-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 [ 65 ] 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199