Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 [ 64 ] 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

с этими работами (см. также работу Колони и Рейнольдса [1970]), поскольку упомянутые здесь методы выходят за рамки данной книги.

Заметим, однако, что, хотя эти методы в своей основной форме довольно ограничены по типу граничных условий задачи, при известной модификации их можно применять и к более общим задачам. Рассмотрим сначала случай прямоугольной области с граничным условием Дирихле i5 = /(x,r/), где всюду f ф 0. Введем вспомогательную функцию я];, которая определяется как точное решение уравнения Vi]; = t с граничными условиями я]; = О на всей границе. Затем введем вторую вспомогательную функцию г5", которая определяется как точное решение конечно-разностного уравнения Лапласа Vi];" = О с граничным условием я];" = f{x,y). Точное решение получается при помощи метода разделения переменных, разработанного для дифференциальных уравнений в частных производных (см., например, Вейнбергер [1965]) и применяемого к конечно-разностному уравнению. (Необходимые разложения по собственным функциям уже известны из разложения, которое требуется при решении уравнения Пуассона.) Тогда в силу линейности задачи окончательное решение получается суперпозицией. Поскольку Уя]:= t и Уя];= О, имеем у2(я5Ч-я];") = и, поскольку на границах я];= О и я];" = f (х, у), имеем я];-(-я];" = - f{x,y). Поэтому функция я5 = я];-(-Ф" удовлетворяет уравнению Уя]; = t и граничному условию я5 = f{x,y).

Если ставятся граничные условия типа Неймана с нулевым градиентом, то разложение проводится в ряд по косинусам. Если же градиент по нормали к границе отличен от нуля,

/дп = g{x, у), то задача решается следующим образом (Уильяме [1969]). Теперь вспомогательная функция я]; вводится следующим образом: я]; = О во всех внутренних точках,

= +g{x, у) An на границах г = / и / = / и я]; = -(а:, у) An на границах t = 1 и /= 1. Эта функция я]; является решением вспомогательного дискретизированного уравнения Пуассона у2я5= с граничным условием 8У8п = g{x,y) и с = О всюду, за исключением точек, смежных с границами, где == = уя!) Ф 0. (В узле, отстоящем на две позиции внутрь от границы, Уя]; = О, поскольку я]; = О во всех соседних точках.) Если ввести я];" = я5 - я]; и t" -? -t, то исходная задача сведется к нахождению решения конечно-разностного уравнения Уя]; = " с граничным условием бя57бп = О, что можно сделать с помощью разложения по косинусам. Искомое решение имеет вид я5 = я]; -(- я];".

Аналогичным приемом можно решать задачу в непрямоугольной области, используя прямоугольную сетку, перекрывающую рассматриваемую область. Рассмотрим изображенную



на рис. 3.20, а область, образованную отсечением небольшого углового участка от прямоугольной области. Граничная точка (2,2) не лежит на границе нерекрываюшего прямоугольника. Пусть i5 = О на всех границах области. Первая вспомогательная функция я]: определяется решением уравнения Vф = t,

на перекрываюшей сетке при ?2,2 = 0. Вторая вспомогательная функция я];" находится решением уравнения Уя]:" = где " определяется так, что 2,2=1. а в остальных точках ?<•,;= О). Затем находится i52,2 как линейная комбинация 1152,2 и 2,2

I---I I

I L

--1

L \

1 1

L N

г

1 1

1 1---1

такая, что 1152,2 = 0, причем значение t, во внутренних точках не меняется. Значит,

г1з2,2 = 0=1 -ilb + a-il;; 2,(3.420) откуда

а = -ЬК2 (3-421)

(знаменатель всегда отличен от нуля.) Окончательное решение получается суперпозицией

г1, = г1з + аг1з. (3.422)

Рис. 3.20. Применение метода разложения в ряды Фурье для непрямоугольных областей.

Несмотря на то что величина С для такого «суммарного» решения в точке (2,2) равна аХ X (истинное) 2,2, она не оказывает влияния на решение, поскольку точка (2,2) является граничной точкой суммарной задачи и поэтому 2,2 не фигурирует в решении этой задачи.

Если на границе перекрывающего прямоугольника не лежат несколько граничных точек, то для каждой такой точки необходимо решать дополнительное уравнение Пуассона. На рис. 3.20,6 вспомогательные решения я];", i]:", i]:"" являются соответственно решениями при условии, что - 1 в точках (2,4), (3,3) и (4,2). Аналогично уравнению (3.420) в послед-

) в электродинамических приложениях, где ф представляет собой потенциал, а -заряд, этот прием известен под названием метода единичного заряда. За обсуждение этого приема автор благодарен О. Бунеману н Дж. Борису.



3.2 10. Аппроксимации высших порядков 207

нем случае для определения а, b и с должна быть решена линейная система

3,3 = О = + «з! 3 + з + сЦ] з, (3.423)

4,2 = О = г!; 2 + а\[ + Ь1][ + сЦ1\\

дающая матрицу коэффициентов влияния для нулевых 1ранич-ных значений, необходимую для следующего решения с новым 1,. Для W граничных точек должно быть решено w вспомогательных уравнений Пуассона, а линейная система порядка ш, аналогичная системе (3.423), решается методом исключения Гаусса; однако при решении семейства задач с различными t, на одной и той же сетке это нужно сделать только для первого решения.

Таким же образом можно решать задачи с комбинациями ненулевых граничных условий Дирихле и Неймана в областях, отличных от прямоугольных, но, очевидно, такое решение будег очень громоздким. Примеры применения рассмотренных методов для областей нерегулярной формы можно найти в работах Базби с соавторами [1970] и Джорджа [1970]. Для девятиточечного аналога уравнения Лапласа (разд. 3.2.10) подобными методами пользовались Лебейль [1969], а также Бёрдсолл и Фасе [1969]). Все эти методы сложнее, чем рассмотренный в разд. 3.2.8 метод расчета распространения вектора ошибки, однако они не ограничены размерами области, дают почти точное конечно-разностное решение и одинаково пригодны для трехмерных задач и для цилиндрической системы координат (Уильяме [1969]). В силу высокой скорости и точности эти методы несомненно найдут применение в будущем для задач с простой геометрией.

3.2.10. Аппроксимации высших порядков

До сих пор мы рассматривали только обычный пятиточечный аналог оператора Лапласа для уравнения Пуассона, но существуют и другие аналоги. Три из них применимы только для квадратной сетки с размерами шагов Ах = Ау = А. В терминологии, схематическом представлении и освещении истории вопроса мы следуем работе Тома и Апельта [1961]. Рассмотренный здесь пятиточечный аналог впервые был использован Рунге в 1908 г. и иногда называется оператором, построенным

) Для того чтобы получить наиболее полное представление о применении методов, использующих ряды Фурье, нужно ознакомиться со статьей Лебейля [1972].



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 [ 64 ] 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199