Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 [ 63 ] 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

то после того, как выбраны предварительные значения г5 , из него находятся величины г5 j. Аналогично, расчет вектора

В методе расчета распространения вектора ошибки возникают на границе в конце обхода расчетных точек, в то время как во внутренних точках ошибки сушественно меньше. Невязки в итерационных методах имеют наибольшую величину во внутренних точках области, в то время как заданные граничные значения остаются неизменными. Таким образом, разрешаемую ошибку порядка 10" в величине ijp на последней границе в рассматриваемом методе нельзя непосредственно сопоставлять с невязкой порядка 10~ для ij) в неявной схеме метода чередующихся нанравлений и в методе последовательной верхней релаксации.

Одним из преимушеств метода расчета расиространения вектора ошибки по сравнению с другими прямыми методами является простота его приснособления к случаям областей со сложной границей и случаям различных комбинированных граничных условий. Единственный момент, требующий разъяснения в случае применения метода для областей сложной формы, заключается в определении векторов начальной и конечной ошибки Е и F. Два соответствующих примера приведены па рис. 3.19. Используемая здесь индексация Е я F не является единственной.

Для каждого отдельного нрименения метода расчета распространения вектора ошибки надо соответственно определять его характеристики. Однако, поскольку наличие границ, находящихся на расстоянии более чем четыре или пять ячеек от какого-либо внутреннего пути продвижения расчета, оказывает сравнительно слабое благоприятное воздействие на расчет величины е, можно ожидать, что данный метод будет чаще всего ограничен величиной Р на рис. 3.18, вычнслениой но наибольшему пути продвижения расчета в рассматриваемой задаче.

Заметим также, что уравнения (3.404) и (3.405) можно использовать для рассмотрения неполных ячеек около нерегулярных границ (см. разд. 6.1, а также книгу Сальвадори и Барона [1961]).

Граничное условие тина Неймана приводит к условию нулевого градиента для е.

Упражнение. Показать, что любое граничное условие типа Неймана для функции ф, т. е. д\1дп = с, где с ие обязательно равно нулю, в рассмотренном методе расчета распространения вектора ошибки приводит к условию де/дп = 0.

Например, если условие вдоль границы В 1 имеет вид

= с, (3.412)



ошибки по уравнению (3.405) для каждого /П] начинают, принимая £т, = em,+i,2 = 1, но вместо 1 = 0 теперь берут ега,+1,1==1- Условие типа Неймана вдоль границы ВЗ

Н = « (3.413,

включается в расчет величин ifi и г5, проводимый по уравнению (3.404), а граничное условие (3.406) для ошибки на границе В 3 заменяется условием

еи,-е,,1. (3.414)

Аналогично, любое условие типа Неймана на границе В 4 приводит к условию ei,j =

Если условие типа Неймана ставится на границах В 3 или В 4, то оно оказывает несущественное влияние на характеристики ошибки, если же это условие ставится на границе В 1, то оно оказывает незначительное благоприятное влияние, а будучи поставленным на границе В 2, оно приводит к серьезным неблагоприятным эффектам. В случае нерегулярной сетки численная реализация условий Роббина тоже проводится просто. Также легко можно решать трех- и /г-мерные задачи, но обращение матрицы С может оказаться затруднительным. Хотя переход от одного измерения к двум сильно ухудшает характеристики ошибки, последующее увеличение размерности задачи приводит к быстро уменьшающемуся неблагоприятному влиянию.

В методе расчета распространения вектора ошибки для конечно-разностной аппроксимации лапласиана (см. разд. 3.3.10) можно использовать пятиточечный шаблон с диагонально расположенными узловыми точками и девятиточечные шаблоны. При этом неявная схема ухудшает характеристики ошибки, в то время как использование явной схемы с диагональным направлением продвижения расчета (решение для /+i)

улучшает их при малом /. Другая заслуживающая внимания модификация заключается в использовании пятиточечного аналога четвертого порядка точности для д[1р/дх в направлении, перпендикулярном направлению продвижения расчета. Это приводит к увеличению Р на 12% при Р = 1, что позволяет также брать большие р при соответствующем увеличении Р. Метод расчета распространения вектора ошибок применим также и для других линейных эллиптических уравнений гидродинамики; кроме того, его можно использовать при итерационном подходе для решения нелинейных уравнений Пуассона с переменными коэффициентами (подробности можно найти в работе Роуча [1971а]). При помощи этого метода возможно прямое решение уравнения Vi[i = /(i[i) (которое получается в неявном эйлеровом методе расчета движения сплошной среды (методе



причем и

Яр,, = Яр,; = 0 (3.417)

Р ~ Дх2

(cos-l). (3.419)

Хокни [1965, 1971] показал возможность эффективного использования этого решения для расчетов в предположении, что = 2* или N - 3-2, где k - некоторое целое число. В методе Хокни используется также нечетно-четное исключение (Дорр [1970], Базби с соавторами [1970]), и его скорость зависит от применения быстрого преобразования Фурье (Кули и Тьюки [1965], Пайпс и Хованесян [1969], Уэбб [1970]), которое имеется в библиотеке стандартных программ многих вычислительных центров. Менее сложный и менее ограничительный метод был использован Уильямсом [1969], который рассмотрел также периодические условия. Аналогичные методы развивали Бунеман [1969] и Огура [1969]. Для того чтобы полностью войти в курс дела, читателю рекомендуется ознакомиться

ICE) см. разд. 5.1) и некоторых электродинамических задач с внутренними условиями согласованности на контактных поверхностях.

3.2.9. Методы, использующие ряды Фурье

Методы, использующие ряды Фурье, основаны на том факте, что точное рещение конечно-разностного уравнения (3.365) может быть представлено в виде разложения по собственным функциям, содержащего конечное число членов. Например, для прямоугольной области размером ХУ,У с количеством внутренних точек Мусы {N = I - 2,M = J - 2) при постоянных Ах и Аг/ и при ij) = О на всех границах точное рещение уравнения (3.365) можно записать в следующем виде (Дорр [1970]):

i-l-Jir+\Y>"p-! (3.415)

где x,-(i -1)Ах, а Hpj (при 1 р Л) суть рещения трех-диагональной системы разностных уравнений

(Яр.- 2 р,, + Н„ /+,) + ЯрЯр, I = „ (3.416)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 [ 63 ] 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199