Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 [ 62 ] 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

При достаточно больших / матрица С, очевидно, может стать плохо обусловленной, а это, как интуитивно ясно, приводит к тому, что трудно отличить ошибку в точке (t, 2) от ошибок в точках ((±1,2), и может послужить источником любой ошибки при / = /. Но, как правило, применение метода на практике ограничивается не этим, а следуюш,им обстоятельством. В отличие от линейного по / рекуррентного соотношения (3.393) для распространения ошибки в одномерном случае в двумерном случае уравнение (3.405) дает величину Fu (ic означает среднюю по / точку сетки), которая с ростом / увеличивается экспоненциально. Для больших значений / это означает, что применимость метода для нахождения ошибки при / = / будет ограничена машинными ошибками округления.

Такое поведение накладывает абсолютное ограничение на разрешающую способность метода даже при условии, что обращение матрицы С может быть выполнено с идеальной точностью. Однако практически используются стандартные программы для метода исключения Гаусса, при помощи которых можно проводить расчеты с удвоенной точностью, уменьшая эту ошибку до пренебрежимо малой величины. Кроме того, детали конкретной задачи (т. е. значения ф и ) также не оказывают существенного влияния на распространение ошибки при условии, что граничные значения для г) представлены в разумном масштабе). Практически оценить ограничения для метода расчета распространения вектора ошибки можно путем численного решения уравнений (3.405) и (3.406) с единичными ошибками при / = /.

Распространение ошибки в данном методе имеет также и некоторые положительные аспекты. Наибольшая (и поэтому накладывающая наибольшее ограничение) ошибка возникает посередине сетки, поэтому необходимо рассматривать только Fic. Кроме того, влияние различных граничных условий вдоль границ ( = 1 и i - I, параллельных направлению расчета, на значение в середине сетки пренебрежимо мало даже при столь малых /, как / = 7, поэтому размером по / можно пренебречь, а граничные условия на В 3 и В 4 рассматривать как параметры для распространения ошибки. Наконец, существенное влияние оказывает отношение шагов сетки р = Ах/Ау, что может дать определенное преимущество. Малые р оказывают на распространение ошибки неблагоприятное влияние, а большие р, напротив, положительное. (В пределе при больших р распространение ошибки приближается к соответствующему распростране-

) Ошибки от этих источников можно уменьшить, проводя дополнительное полное итерирование для метода в целом, но достигаемое прн этом улучшение обычно меньше того, которое получается за счет уменьшения / на единицу. Кроме того, такая процедура расходится после второй итерации.



нию ошибки в одномерном случае, которое просто линейно по /. Однако в этом случае точность ограничена из-за плохой обусловленности матрицы С. Было обнаружено, что эта ошибка играет основную роль в задаче с сеткой 101 X 101 при р = 10.)

Безразмерным расстоянием, представляющим практический интерес при определении применимости метода, является отно-

"1

10 2

1 (dp) cdc 6600-(dp) cdc 3600

:dp)

(hdp) un 1108-(dp) ibm 360\ ibm 7090,(dp) un 1107/8-(sp) cdc 6600-

(sp)

(sp) cdc 3600-ibm 7090,(sp) un 1107/8 (sp) ibm360-

) 10

y/Ax

Рис. 3.18. Характеристики распространения ошибки в методе расчета распространения вектора ошибки, примененном д.пя уравнения Пуассона в декартовой системе координат {х, у). Здесь Р = \g Fic, Р = Дх/Ду.

шение Y/Ax (т. е. число щагов Ах, которое проходится в нанравлений у). На рис. 3.18 представлен график величины Р = - \gFic для единичной ошибки Ей = 1, где р служит параметром. На этом же рисунке приведены данные о разрешающей способности вычислений, характеризуемой числом значащих цифр S в некоторых используемых в настоящее время в США вычислительных машинах. (Сокращения SP, DP и HDP соответственно означают одинарную точность вычислений, удвоенную точность вычислений и удвоенную точность, обеспечиваемую специальным устройством.)

В качестве примера к рис. 3.18 рассмотрим вычислительную машину CDC6600 с одинарной точностью вычислений, когда S = 14.45. При р 1 и YjAx = 20 имеем S Р. При этом условии (7 = 21) можно ожидать, что разрешаемые ошибки в величинах i, j будут порядка единицы, а это неприемлемо. Но



а; г, г, f, г„

г,, а: f. f f

£,2

Рис. 3.19. Метод расчета распространения вектора ошибки для областей нерегулярной формы. Ет - составляюшие вектора начальной ошибки, - составляющие вектора конечной ошибки. Стрелкой указано направление продвижения расчета.

При р = 2 и У/Ах = 10 (при этом по-прежнему 7 = 21) имеем Р та 7.5. В этом случае разность S~ Р = 14.5 - 7.5 = 7, и поэтому можно ожидать, что разрешаемые ошибки в величинах i.j будут иметь порядок 10-, а это обычно уже приемлемо.

Разрешаемые ошибки в методе расчета распространения вектора ошибки отличаются от меры сходимости или невязки в итерационных методах. Наибольшие разрешаемые ошибки



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 [ 62 ] 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199