Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 [ 60 ] 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

релаксации и их модификацию, циклический чебышевский полуитерационный метод и его вариант (см. также Ходжкинс [1966] и Риглер [1969]), полуитерационный метод Шелдона и его модификацию. Именно здесь Янг и Кинкейд [1969] рекомендовали проводить первый обход расчетных точек в методе последовательной верхней релаксации с параметром релаксации (0=1, а также обсудили некоторые детали того, как норма ошибки может влиять на результаты сравнения различных методов.

Апельт [1969], а также Сон и Ханратти [1969] использовали вариант метода последовательной верхней релаксации, предложенный Расселлом [1962]. Одно из самых простых усовершенствований для программирования метода последовательной верхней релаксации ввел Шелдон [1962]; см. также работу йенссена и Стреде [1968]. Шелдон расшепляет процесс обхода расчетных точек в методе последовательной верхней релаксации на две части с обходом узловых точек в шахматном порядке- сначала обходятся точки с нечетной суммой / + /> а затем с четной суммой / + /. На первой части такого обхода новая информация не используется (в случае рассматриваемого здесь обычного пятиточечного аналога лапласиана). На второй части обхода во всех четырех соседних точках учитываются новые значения (см. разд. 3.1.18 о методе «классики»).

Стоун [1968], Вейнсгейн с соавторами [1968] и Дюпон с соавторами [1968] рассмотрели методы для решения уравнения дифс})узии (пригодные здесь в силу аналогии между шагами по времени и итерациями), неявные в большей мере, чем неявная схема метода чередуюшихся направлений, но все-таки не полностью неявные. Эти методы основаны на проведении предварительной матричной факторизации (как это делается во многих прямых методах) и решении возникающей при этом задачи с разреженной матрицей при помощи прямого метода исключения Гаусса.

Раштон и Лейнг [1968] использовали метод «динамической релаксации» для решения трехмерного уравнения Лапласа (см. также Вуд [1971]).

Виноград [1969] рассмотрел класс методов «хаотической релаксации», которые, подобно методу Ричардсона, удобны для программирования на вычислительных машинах с параллельными процессорами. Здесь новые значения рассчитываются одновременно в многих узловых точках. Автору удалось получить сходящиеся результаты, вообще не задавая заранее ни порядка выбора каждой обрабатываемой точки (/,/), ни числа итераций при решении уравнения. Этот результат Винограда наводит на мысль о необходимости исследовать выбор параметров релаксации для неявной схемы метода чередующихся направлений



при помощи метода Моите-Карло, что может представлять по меиьщей мере теоретический интерес. Лик и Танстолл [1968], а также Ахамед [1970] рассматривали итерационные методы для рещения уравнения вида Уф ==. Методы рещения уравнения Пуассона обсуждаются также в работах Алексидзе и Пертая [1969] и Вонка [1970].

В силу своей простоты и приемлемой скорости сходимости основной метод последовательной верхней релаксации (с параметром (D = 1 на первой итерации), по-видимому, остается наиболее популярным итерационным методом в случае областей непрямоугольной формы, тогда как неявная схема метода чередующихся нанравлений Дугласа и Ракфорда (и, возможно, метод последовательной верхней релаксации) найдет, вероятно, более щирокое применение для областей прямоугольной формы.

3.2.8. Метод расчета распространения вектора ошибки (метод EVP)

Сравнительно простой и гибкий прямой метод решения уравнения Пуассона был предложен автором настоящей монографии (Роуч [1971а, 19716]). Этот метод относится к классу методов с двойным обходом расчетных точек или методов с расчетом коэффициентов влияния (см., например, Исидзаки [1957], Люси и Хаусен [1964], Хирота с соавторами [1970]). В нем используются только наиболее элементарные правила линейной алгебры, однако он обладает существенным недостатком: из-за ошибок округления его можно применять лишь для задач с ограниченным размером области.

Опишем этот метод для одномерной задачи (он применяется и при рассмотрении условия на выходной границе потока в разд. 3.3.7). Рассмотрим сначала одномерную но у задачу с граничными условиями Дирихле, иснОльзуя для представления второй производной б2гlз/бг/ обычную конечно-разностную формулу второго порядка точности:

-др-- ?/. (3.388)

г;,, = а, Ь = Ь. (3.389)

Возьмем некоторое произвольное значение ijjg (где штрих означает предварительное значение), скажем 2 = = а. Это значение 1132 отличается от истинного значения iIj на единичную ошибку е, т. е.

2 = 2 +е- (3-390)



Все остальные предварительные значения гр вплоть до точки / определяются при помощи преобразованного уравнения (3.388) при первом обходе расчетных точек, начиная с /= 3,

,, = AyXj + 2]-. ,. (3.391)

Эти предварительные значения г5 отличаются от истинных на величину ощибки е/, т. е.

= ] + е.. (3.392)

Подставляя выражение (3.392) в уравнение (3.388) и используя уравнение (3.391), получаем рекуррентное соотношение для расчета распространения ошибки

е/+,=2е/-е/ 1, (3.393)

которое не зависит от неоднородного члена При условии (3.389) на левой границе, очевидно, имеем ei = О, а по определению 62 = е; по индукции можно показать, что тогда уравнение (3.393) принимает вид

e, = Q-\)e. (3.394)

Единичная ошибка е вычисляется в конце первого обхода по известному граничному условию г5/ = Ь\ таким образом,

6-11)

е = -. (3.395)

С учетом полученной величины е при втором обходе исправляются предварительные значения и окончательные значения определяются при помощи уравнения

,] + Ц-\)е. (3.396)

Эти окончательные значения можно найти и иначе - при помощи уравнения (3.391) и правильных значений

г5, = а, г52 = 2 + е- (3-397)

Такой подход будет использован в двумерной задаче.

Если на второй границе при / = / задано условие Неймана в каком-либо из двух видов

и или Ш = и, (3.398)

то, как легко проверить, уравнение (3.395) для определения е заменяется одним из следующих уравнений:

e = UAy-{\-] ) или e = UAy-l2{,-f ). (3.399)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 [ 60 ] 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199