Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 [ 59 ] 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

В случае четырнадцати интервалов сетки на каждой границе (Дх = Ау = /i4) задача включала 14X14 неизвестных в узловых точках с индексами i, /=1, 2, 14 = /-1=/-1. Использовалась последовательность следующего вида:

9, = sin[±], (3.386)

откуда ро = 0.012576, pis = 3.9874. Тогда соответствующая убывающая последовательность Д будет начинаться членами До = 0.40571, Д1 = 0.04546 и кончаться членом Д,з = 0.00128.

«Оптимальная» последовательность в общем случае недостижима. Способы получения «хороших» последовательностей были предложены Дугласом [1962] и Вахпрессом [1966]. Эти способы описаны в книгах Эймса [1969] и Митчелла [1969]; оба последних автора утверждают, что параметры, предложенные Вахпрессом, предпочтительнее, но не приводят достаточно убедительных доводов. В обоих способах требуется оценить наибольшее и наименьшее собственные значения матрицы, что само по себе нетривиально. Развитые теории применимы только для задач с граничными условиями Дирихле в квадратной области при одинаковых шагах сетки Ах = Ау, хотя Брили [1970] с успехом использовал параметры Вах-пресса в одном цикле из четырех на неквадратной сетке.

Хаджидимос [1969] обсуждает выбор последовательности Pk и указывает на некоторые неверные интерпретации теории в прошлом. Уэстлейк [1968] отмечает, что в общем случае лучше завысить число циклов, чем занизить его. В случае непрямоугольной области способа выбора последовательности не имеется, хотя известно, что метод сходится для всех р. (Отметим, что на обоих полушагах должно браться одно и то же Pk.) Мурадоглу [1968], Краудер и Дальтон [19716] провели некоторые предварительные исследования свойств сходимости неявной схемы метода чередующихся направлений в случае непрямоугольной сетки.

В методах последовательной верхней релаксации число итераций, необходимое для сходимости, увеличивается с ростом N. Для неявных схем метода чередующихся направлений, применяемых в областях квадратной формы, kmsx почти не зависит от N, так что для достаточно больших неявные схемы метода чередующихся нанравлений предпочтительнее. В численных расчетах Биркгофа с соавторами [1962] на сетке 40X40 неявные схемы метода чередующихся нанравлений с параметрами Вахпресса оказались почти в четыре раза быстрее, чем метод последовательной верхней релаксации с оптимальным параметром релаксации. Однако неясно, будут ли неявные схемы метода чередующихся направлений быстрее в случае непрямо-



угольных областей, тем более что для областей сложной формы методы последовательной верхней релаксации заведомо проще с точки зрения программирования.

Линч и Райе [1968] рассмотрели влияние гладкости начальных ошибок на оптимальную последовательность и влияние ошибок при вычислении собственных значений матрицы, рекомендовали использовать для практических расчетов параметры Вахпресса и указали, что последующие циклы менее эффективны, чем первый цикл. Последовательность параметров pft рассматривалась также в статьях Гайера и Тодда [1967] и Вахпресса [1968].

Неявные схемы метода чередующихся направлений и аналогичные им схемы изучали Янг [1954], Самарский [1962] и Фейрвезер [1969]. Фейрвезер с соавторами [1967], Хаджиди-мос [1969], Бурсье и Франсуа [1969] использовали неявные схемы метода чередующихся направлений для решения бигар-монических уравнений. Каспар [1968] рассмотрел неявные схемы метода чередующихся направлений для слабо нелинейных уравнений эллиптического типа. Видлунд [1967] сообщил об известных успехах при решении некоторых задач с помощью подхода, при котором рассчитывается нестационарное асимптотическое решение уравнения более общего вида:

c{x,y) = V-Z, (3.387)

где для ускорения сходимости выбирается положительный коэффициент с{х,у).

Для понимания современных исследований неявных схем метода чередующихся направлений требуется знакомство с обозначениями и семантикой линейной алгебры. Здесь можно рекомендовать краткое изложение этого вопроса в первой главе книги Митчелла [1969]).

3.2.7. Другие итерационные методы

Для решения уравнения Пуассона разработано много вариантов итерационных методов. Один из первых обзоров таких методов был дан Гейрингер [1959]. Несмотря на то что для некоторых задач многие из этих методов обладают определенными преимуществами или ограничениями, к результатам их

) Советскому читателю можно рекомендовать более доступные книги по линейной алгебре: Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. - 4-е изд., доп. -М.: Наука, 971; Мальцев А. И. Основы линейной алгеб-)ы. - 4-е изд., стереотип. - М.: Наука, 1975; Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. вычислительные методы линейной алгебры. - 2-е изд., доп. -- М.: Физматгиз 1963. - Лрш1. ред.



) Гопалсами и Аггарвала [1970] рассматривали методы Монте-Карло для бигармонических уравнений.

сравнения следует относиться с известной осторожностью. Как было указано выше в разд. 3.2.5 (и в работе Янга и Кинкейда [1969]), результаты сравнения методов часто зависят от нормы ошибки, формы области и граничных условий задачи.

При оценке какого-либо нового метода необходимо учитывать его сложность, гибкость, ирисиособляемость (например, можно ли его использовать для решения задачи с граничными условиями Неймана или на сетке, отличной от квадратной) и ожидаемый выигрыш при решении полной задачи гидродинамики. Наконец, при выборе метода немаловажную роль играют личное знакомство с методом и ясность его описания автором.

Кроме представленных выше методов, Уэстлейк [1968] оценил метод сопряженных градиентов (см. также Симеонов [1967]), градиентные методы, которые сходятся быстрее, чем метод Либмана, но требуют чрезмерного объема машинной памяти, метод Ньютона - Рафсона, также требующий слишком большого числа итераций и слишком большого объема памяти, стационарные линейные итерации и методы Монте-Карло. Известно, что методы Монте-Карло эффективны при решении уравнения для ij), когда на сетке имеется всего одна или несколько узловых точек, и именно поэтому они не представляют ценности для решения гидродинамических задач).

Уэстлейк также опробовал метод двухлинейной блочной последовательной верхней релаксации с циклическим чебышев-ским ускорением. Этот метод превосходит неявную схему метода чередующихся направлений для квадратной сетки с размером шага больше некоторого зависящего от задачи значения, но для задач с мелкой сеткой неявная схема метода чередующихся нанравлений дает лучшие результаты. Мартин и Ти [1961] провели сравнение итерационных методов, включая градиентные методы. Пирсон и Каилан [1970] исследовали различные способы обхода расчетных точек сетки для метода последовательной верхней релаксации. Они обнаружили, что можно достичь сходимости за меньшее число итераций, но из-за дополнительного усложнения программы при этом может увеличиться машинное время.

Янг и Кинкейд [1969] сравнили представленные выше методы с некоторыми другими методами. Они охватили метод последовательной верхней релаксации с переменным параметром релаксации со, как и в неявной схеме метода чередующихся нанравлений Дугласа - Ракфорда (см. также Мак-Доуэлл [1967]), еще один модифицированный метод последовательной верхней релаксации, параметры Шелдона для метода верхней



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 [ 59 ] 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199