Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 [ 57 ] 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

10"

-.Ill

1 1 I 1

Рис. 3.16а. Поведение итерации в методе последовательной верхней релаксации в зависимости от величины параметра релаксации ш. Размер сетки / = /=•21, Дл; = Д(/, оптимальное значение ш в этом случае то= 1.7295. По оси ординат отложена величина max eij на пятидесятой итерации.

границах ставятся условия Неймана, то о)о увеличивается. В тех случаях, когда на некоторых границах ставятся условия Дирихле, а на остальных условия Неймана, когда Ал или Ау переменны и когда рассматривается L-образная область (и многие другие непрямоугольные области), параметр соо аналитически не определен. В таких случаях соо можно найти экспериментально, последовательно решая уравнения Лапласа с нулевыми граничными условиями при различных значениях со (1 < со < 2) и проверяя сходимость к решению If . = 0 при больших k. (Величина соо ие зависит от наличия источникового члена t,.) При этом весьма важно, чтобы в начальное условие входили все компоненты ошибки (данному требованию легко удовлетворить, положив во всех внутренних точках = 1).



е = 10


J \ L

J-1 I L J

Рис. 3.166. Поведение итераций в методе последовательной верхней релаксации в зависимости от величины параметра релаксации ш при тех же данных, что на рис. 3.16а. По оси ординат отложено относительное число итераций, необходимых для выполнения условия tx ~ Фтах ~

Процесс экспериментального нахождения щ затруднителен, так как обычно скорость сходимости резко меняется при изменении параметра ы в окрестности его оптимального значения ыо. Соответствующий пример представлен на рис. 3.16а и 3.166. Изменение кривизны приведенных на них графиков в окрестности (Do показывает, что обычно лучше брать щ с небольшим избытком, чем с недостатком. Видно также, что выбор близкого к единице значения ы, например ы = 1.1, приводит к незначительному улучшению сходимости по сравнению со случаем

(0=1.



Поскольку уравнение Пуассона надо решать на каждой итерации уравнения переноса вихря, всегда имеет смысл экспериментально оценить величину ыо. Джейн [1967] предложил другой удобный в некоторых случаях способ оценки wq из численных расчетов. Следуя Карре [1961], Стробридж и Хупер [1968], а также Хопер и Венструп [1970] при решении задач с осевой симметрией тоже оценивали Ыо по прошествии нескольких первых итераций. Оценкой параметра ыо занимались и другие исследователи (Янг и Эйдсон [1970], Житко [1970]).

Описанный здесь метод последовательной верхней релаксации является исходным методом «поточечной» последовательной верхней релаксации Франкела и Янга. В нем берутся значения с (+1)-й итерации в двух соседних с (/,/) точках (/-1,/) и (j,/- 1). Можно несколько увеличить скорость сходимости при помощи «полинейной» последовательной верхней релаксации, когда используются «продвинутые» значения с {к-\-\)-й итерации в трех соседних точках. Пусть обход расчетных точек ведется в направлении возрастания /. Когда рассчитывается строка /1, значения в предшествующей строке /1 - 1 уже найдены на (fe + итерации. Значения в строке /1 находятся по этим значениям из строки /1 - 1 {k-\-[)-u итерации при помощи неявного решения для узловых точек строки /1 с разными значениями i, что требует применения метода прогонки (см. приложение А).

Эймс [1969, с. 147] указал, что при Ax = A(/->0 число итераций, необходимое для сходимости решения при расчетах по методу полинейной последовательной верхней релаксации, в л/2 раз меньше, чем при использовании метода поточечной последовательной верхней релаксации. Однако здесь на выполнение каждой итерации требуется больше времени, так как для решения используется неявный метод (прогонка). В численных экспериментах, выполненных Бао и Догерти [1969], был достигнут небольшой выигрыш в скорости вычислений по методу полинейной последовательной верхней релаксации, не окупавший дополнительных трудностей, связанных с методом прогонки. Дорр [1969] получил оценки для величины ыо в случае применения метода полинейной последовательной верхней релаксации для решения уравнения Пуассона с граничными условиями Неймана.

Из-за своей простоты и эффективности метод поточечной последовательной верхней релаксации является наиболее популярным из всех итерационных методов для решения уравнения Пуассона в задачах вычислительной гидродинамики. В последние годы широко применяются и несколько более сложные неявные схемы метода чередующихся направлений, которые будут рассмотрены ниже.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 [ 57 ] 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199