Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 [ 53 ] 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

менее при этом результаты высокого порядка для многомерных задач могут быть получены и фактически получаются.

Некоторые схемы высокого порядка точности были описаны в разд. 3.1.18-3.1.20. Отметим дополнительно следующие работы, в которых используются обычные схемы высокого порядка точности. Фейрвезер [1969] применил неявную схему метода чередующихся направлений для уравнения диффузии, имеющую порядок точности О {АР, Ах). (Заметим, что некоторые схемы, приведенные в книге Рихтмайера и Мортона [1967] для уравнения диффузии, приобретают высокий порядок точности при определенных комбинациях параметров, но эти условия обычно не характерны для задач гидродинамики.)

Гунаратнам и Перкинс [1970] построили схемы высокого порядка с помощью метода взвещенных невязок. Даусон и Маркус [1970] использовали модифицированную схему Рунге - Кутта - Гилла толькодля интегрирования ио времени. Ло-мекс с соавторами [1970] применил схему Рунге - Кутта четвертого порядка точности для интегрирования по времени одномерного модельного уравнения, описывающего течение невязкой жидкости. Фридман ]1970] представлял выражениями четвертого порядка точности вторые производные по нормали к стенке (преобладающее направление диффузии) и выражениями второго порядка производные по направлению, параллельному стенке.

Аналогичный эффект может быть достигнут при использовании прямоугольной сетки с неравными щагами Ах ф Ау; реальное преимущество такой сетки продемонстрировали Хын и Макано [1966]. Рыбицки и Хуппер [1970] решали двумерное уравнение диффузии при помощи полностью неявных разностей первого порядка О {At) по времени и конечных элементов, имеющих 36 степеней свободы, по пространству.

После 1972 г. появились и другие конечно-разностные схемы высокого порядка точности обычного типа, но наиболее перспективными оказались схемы, основанные на «компактных разностях». Орсаг и Израэли [1974] и Хёрщ [1975] использовали схему, предложенную Крайсом [1973], и назвали ее компактной разностной схемой. Но согласно работе Рубина и Хосла [1975], следующие схемы эквивалентны (т. е. каждая из них может быть получена из любой другой): компактная схема Крайса, аппроксимационная формула Эрмита - Паде, схема Мерштел-ленга, собственная схема Рубина - Хосла со сплайнами четвертого порядка. В обозначениях Хёрша [1975] компактную схему можно записать в следующем виде.

Рассмотрим дискретную функцию t,,, для которой мы хотим определить приближенное значение Ft первой частной производной но пространственной переменной и приближенное зна-



чение Si второй частной производной по пространственной переменной. Чтобы вычислить Fi, сначала найдем первую производную по обычной аппроксимационной формуле второго порядка точности с центральной разностью, обозначим ее через fi и будем хранить в соответствующем массиве. Итак,

/£=~-. (3.361а)

где Л - шаг пространственной сетки в направлении х или у. Тогда приближенное значение f,- четвертого порядка точности получается из решения уравнений вида

i-(f,+i + 4f, + f, i) = /,. (3.3616)

Обычные схемы четвертого порядка точности имеют вид явных разностных формул, построенных на пятиточечном шаблоне (точка i и соседние точки г±1, г ±2). В компактной схеме берутся только три точки (t и г± 1), но разностная формула получается неявной, т. е. не локальной. Значения f, находятся из уравнения (3.3616) при помощи метода прогонки (см. приложение А), так что эти значения во всех точках i зависят от значений в других точках и, следовательно, зависят от /, и глобально, а не локально. (Из-за такой глобальной зависимости компактная схема подобна спектральным и псевдоспектральным схемам; см. Орсаг и Израэли [1974].) Компактная схема обладает также меньшим коэффициентом при ошибке аппроксимации порядка 0(A), чем обычная схема четвертого порядка точности. Аналогично, сначала по явной схеме второго порядка точности вычисляется вторая производная, которая обозначается через Si и хранится в соответствующем массиве. Таким образом,

5. = ii±i:i±li. (3.361В)

Тогда приближенное значение 5,- четвертого порядка точности получается из решения методом прогонки уравнений вида

-(S,4-. + 10S, + 5; i) = 5,.. (3.361Г)

Само собой разумеется, что при решении уравнений для функции Р необходимо поставить граничное условие для первой производной; аналогично надо ставить граничное условие и для S. Такая трудность присуща всем схемам высокого порядка. Однако Хёрш [1975] показал, что для объединенной системы уравнений для F я S граничные значения четвертого



порядка точности могут быть получены с помощью второго диагонального аппроксиманта Паде

li - Ci+i + f ( + i+i) + iSi- 5,4-1) = 0. (3.362)

Это уравнение позволяет объединенной системе уравнений для F и S сохранить как четвертый порядок точности, так и трех-диагональный вид матрицы вплоть до границы. Таким образом, данная форма проще и точнее, чем обычные пятиточечные выражения.

Используя компактную схему в неявном методе чередующихся направлений (см. разд. 3.1.16), Хёрщ [1975] рассчитал двумерные стационарные течения вязкой жидкости при малом числе Рейнольдса. При помощи компактной схемы четвертого порядка удалось достигнуть экономии машинного времени в 20 раз и объема машинной памяти в 3 раза по сравнению со схемой второго порядка (примерно при той же точности). Граничные условия для вихря брались с предыдущего слоя по времени (как это обычно делается в том случае, когда интерес представляет только стационарное решение), что приводило к потере точности по времени. Трехточечные компактные разности можно также применять для построения схем шестого и более высокого порядка точности (Хёрш, личное сообщение). В схеме Рубина - Хосла [1975], основанной на аппроксимации сплайнами, вводится переменный шаг по пространственной сетке, и в этом случае порядок ошибки для F остается 0(Л), но порядок ошибки для S уменьшается до 0(АЗ).

Для ознакомления с разностными схемами высокого порядка точности, а также со спектральными и псевдоспектральными схемами рекомендуются монография Крайса и Олиджера [1973] и обзор Орсага и Израэли [1974].

Важно отметить, что даже правильные и равномерно точные во всех точках схемы высокого порядка не решают проблему сеточного числа Рейнольдса, описанную в разд. 3.1.8. В самом деле, колебания, возникающие при Re > 2 при использовании разностей высокого порядка, часто увеличиваются. По-видимому, неблагоприятные оценки схем высокого порядка точности, приведенные во многих ранних исследованиях, можно отнести за счет недостаточного понимания роли ограничения на Rcc, которое, возможно, является самой сложной проблемой вычислительной гидродинамики; см. Роуч [1975].

В заключение заметим, что точность не является единственным соображением при выборе метода. Суммарные затраты, как машинного времени, так и времени человека, часто играют главенствующую роль. Суммарные затраты должны включать как затраты на проведение серийных расчетов, так и затраты



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 [ 53 ] 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199