Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 [ 5 ] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

майер [1963]) вблизи точки торможения потока развивается нелинейная неустойчивость. Эти примеры показывают, что исследование линейных уравнений и уравнений с постоянными коэффициентами недостаточно для установления неустойчивости.

Еще важнее то обстоятельство, что само определение устойчивости является неадекватным. Лилли [1965] показал, что применение схемы «чехарда» относительно средней точки к модельному уравнению приводит к осцилляциям, не имеющим ничего общего с правильным решением. Использованное при этом уравнение соответствовало уравнению переноса вихря в несжимаемой жидкости в предельном случае бесконечно большого числа Рейнольдса.

Автор настоящей книги установил, что и для малых чисел Рейнольдса при достижении стационарного состояния продол-н<ают существовать осцилляции, хотя и меньшей амплитуды. Эти осцилляции нам хотелось бы назвать численной неустойчивостью, а между тем по общепринятым определениям, основанным на росте или ограниченности ошибки, эти результаты являются «устойчивыми». Кроме того, поскольку данные результаты не колеблются около правильного решения, мы не можем с уверенностью сказать, что правильное решение будет достигнуто при Ах, Все же мы знаем, что при уменьше-

нии числа Рейнольдса мы приближаемся к правильному решению и, таким образом, при малых, но отличных от нуля числах Рейнольдса можно приблизиться к правильному решению «достаточно близко» для целей практики. Итак, результаты численного решения могут быть не сходящимися в математическом смысле, но сходящимися в практическом смысле.

Далее, в настоящее время ни в одном исследовании не учитывается влияние на решение математически не обоснованных граничных условий, которые используются в различных схемах на выходной границе. Эдди [1949], а несколько позднее и некоторые другие авторы рассмотрели влияние на устойчивость градиентных граничных условий. Очень часто дестабилизирующее влияние граничных условий имеет первостепенное значение.

Из сказанного выше ясно, что изящные математические исследования и определения устойчивости для численных схем не должны рассматриваться как окончательные результаты, а должны только служить разумной базой и наводящими соображениями для численного экспериментирования. В настоящей книге будет проводиться именно такая точка зрения.



Глава 2

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

в этой главе рассматриваются уравнения, которые используются при решении задач о плоском течении несжимаемой жидкости в прямоугольной системе координат. Сначала выписываются уравнения движения для простейших физических переменных (составляюшие скорости и давление), а затем выводятся уравнения для вихря и функции тока. Далее дается консервативная форма уравнения переноса вихря (хотя смысл этой формы становится ясным лишь 6 следующей главе) и обсуждаются различные системы уравнений в безразмерных переменных. В заключение приводятся два одномерных модельных уравнения переноса вихря: уравнение Бюргерса и линеаризованное одномерное уравнение, включающее конвективный и диффузионный члены.

2.1. Уравнения движения для физических переменных

Основными уравнениями, описывающими плоское течение несжимаемой ньютоновой вязкой жидкости с постоянными свойствами при отсутствии внешних сил, являются два уравнения количества движения (уравнения Навье - Стокса) и уравнение неразрывности (см., например, Ламб [1945] или Шлихтинг 1[1968]), имеющие следующий вид:

dt dv dt

а . . дй . да I дР , . /дй , дй\

f + +of = -liZ-fv( + .p-). (2.2)

t дх ду р ду \дх дуJ

f + f=« (2-3)

(черточки над буквами означают, что соответствующие величины являются размерными). Уравнения записаны для физических переменных - составляющих скорости «, о и давления Р; свойства жидкости характеризуются плотностью р и кинематическим коэффициентом вязкости v. Эти уравнения основаны на



) В трехмерном случае вихрь обычно определяется как V X V, что при переходе к двумерному случаю дает выражение, отличающееся от приведенного ниже определения знаком.

следующих физических законах: уравнения (2.1) и (2.2) являются проекциями векторного уравнения количества движения F= та (второго закона Ньютона), причем вязкие силы связаны со скоростью деформаций линейным ньютоновым законом для касательных напряжений, а уравнение (2.3) выражает закон сохранения массы. Приведенные уравнения записаны в эйлеровой системе координат, т. е. в неподвижной системе, относительно которой движется жидкость. (Иное - лагранжево - описание, в котором система координат движется вместе с жидкостью, не используется в этой книге, хотя некоторые замечания о ла-гранжевом подходе и будут сделаны в гл. 6.) Несмотря на то что можно численно решать непосредственно эти уравнения (см. разд. 3.7), лучшие результаты получаются при численном решении уравнений для вихря и функции тока. Преимущества и недостатки использования уравнения для вихря и функции тока будут обсуждаться в следующем разделе, а здесь мы отметим лишь методологическое примущество этого подхода, заключающееся в том, что при нем нужно рассматривать только одно уравнение переноса.

2.2. Уравнение переноса вихря и уравнение для функции тока в случае плоских течений

Из уравнений (2.1) и (2.2) можно исключить давление, продифференцировав первое из них по г/, а второе по х. Определяя вихрь как)

получаем уравнение переноса вихря, имеющее параболический тип:

Используя субстанциональную производную, это уравнение можно представить так:

11 = vn. (2.6)

Определяя функцию тока гз соотношениями



0 1 2 3 4 [ 5 ] 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199