Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 [ 49 ] 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

В одной из последующих работ Фромм [1971] использовал разности против потока и центральные разности на чередующихся шагах ио времени, а не в двухшаговой схеме, уменьшая тем самым время вычислений, но разности против потока брались при числах Куранта Сх < /г, Су < /г. Расчет точек вблизи границ здесь также требует специального рассмотрения (см. Фромм [1971]).

3.1,21. Схема Аракавы

Схема Аракавы [1966] часто применяется для решения метеорологических задач, в которых рассматривается уравнение переноса вихря в невязкой жидкости. Это существенно двумерная девятиточечная схема с узлами типа (i-j-1./-1) и т. д. В ней составляющие скорости непосредственно выражены через функцию тока, т. е. принято и = v = -dldx. Не при-

водя вывода схемы, мы просто выпишем ее не в обозначениях автора, а в наших обозначениях:

С = С + бШ {(.>ь / - .--1, /) (i, /+1 - и. /-,) -

- ii-uiiii-i. l+l - - Фг, iti+i. 1+1 - Zi-ui+i) +

+ ф,-, 1-1 iii+i. /-1 - li-i, i-i) + it, 1+1 iii+i. i+i ~ /+i) -

- ii.l-lili+l. 1-1 - i-Ul-l) - ti+Uiii+U 1+1 - i + Ui-l) +

+ ti-i.iii-i.i+i-b-ui-i)r- (3.353)

Несмотря на очевидную сложность, данная схема обладает некоторыми преимуществами. У нее формальная ошибка аи-ироксимации составляет Е = О {А.Р, A.x, А.у). Это одношаговая схема, и поэтому здесь не возникает проблем, связанных с граничными условиями. Для этой схемы тождественно выполняется равенство G= 1 и тождественно сохраняются величины , t, и кинетическая энергия и -\- v; эти свойства схемы делают ее особенно удобной для решения задач гидродинамической устойчивости. Поскольку схема сохраняет величину t,, она не подвержена нелинейной неустойчивости Филлииса [1959], возникающей из-за обусловленных неразличимостью ошибок (такие ошибки имеют место, но остаются ограниченными, так как t, остается ограниченным). Хорошие свойства этой схемы, относящиеся к фазовой ошибке и обобщающие ее на случай метеорологических уравнений в ириближении «р-илоскости», рассмотрены Граммельтведтом [1969]. Используя подход Дюфорта - Франкела (разд. 3 1.7), Феста [1970] включил в данную схему диффузионные члены.



К сожалению, эта схема обладает недостатками, присущими другим схемам, использующим разности по времени типа «чехарда» (см. разд. 3.1.6), которые чувствительны к неустойчивости, связанной с расчленением решения по временным шагам (см. Уильяме [1969]). Для достижения устойчивого стационарного решения Феста [1970] время от времени проводил усреднение по временным слоям.

3.1.22. Замечания о схемах для расчета стационарных

течений

Многие свойства схем для уравнения переноса вихря, описанные выше, имеют смысл только для нестационарных решений (например, фазовая ошибка). Хотя сама идея нестационарного подхода привлекательна (Харлоу и Фромм [1965], Макано [1965]), естественно возникает следующий вопрос: зачем возиться с нестационарным решением, если интерес представляет только возможное стационарное решение? Почему бы не положить dQ/dt и не работать с уравнениями, описывающими стационарное течение?

Такой подход на самом деле с успехом использовался многими авторами. Однако в общем случае пока рекомендуется нестационарный подход. В качестве первого решающего аргумента в его пользу продемонстрируем эквивалентность простейшей схемы для стационарного уравнения и одной разностной схемы для нестационарного уравнения.

Одномерное стационарное модельное уравнение переноса получается из модельного уравнения переноса параболического типа (2.18) и имеет вид

«.§=«0. (3.354)

Это уравнение можно представить в конечно-разностной форме, используя центральные разности по пространственной переменной:

• (3-355)

Для решения этого уравнения эллиптического типа можно воспользоваться какой-либо из итерационных схем, которые будут обсуждаться в разд. 3.2. В простейшей итерационной схеме (Ричардсона или Якоби) уравнение (3.355) разрешается относительно t,,. Считая известным некоторое начальное приближение для всех i, новые значения на {к-{-1)-й итерации определяются по стоящим в правой части старым значениям



после k-ii итерации:

Г = - Tl. - tO + Tl. + Сд- (3-356)

Итерации продолжаются до тех пор, пока не будет выполнен некоторый критерий сходимости (разд. 3.4). Если из обеих частей уравнения (3.356) вычесть то итерационная вычислительная схема не изменится

ii-ii-- (ilr - iU) + Т (l. - 2?- + . (3.357) или

ь,-- 2a 2 Ax "2 Ax (•i)

Заметим теперь, что уравнение (3.358) будет эквивалентно уравнению (3.18) {нестационарному конечно-разностному уравнению с разностями вперед по времени и с центральными разностями по пространственной переменной), если определить шаг по времени в уравнении (3.18) как At" = 1, итерационную скорость конвекции как = «Алг7(2а) и итерационный коэффициент диффузии как а" = Ах/2. Из анализа уравнения (3.18) известно, что для сходимости требуется, чтобы итерационное число Куранта С" не превышало единицы, т. е. чтобы

ри »" At" и АхЛ « Ал: /q

~-аГ~ 2аАх -~2Г (3.359а)

Re,< 2. (3.3596)

Значит, при сеточном числе Рейнольдса иАх/а > 2 данная итерационная схема будет расходиться.

Этот пример показывает, что итерационная схема Ричардсона в точности эквивалентна нестационарной схеме и является ограниченной. Другие итерационные схемы для уравнений эллиптического типа эквивалентны или по меньшей мере аналогичны нестационарным схемам для уравнений параболического типа. Впервые на такую аналогию указал Франкел [1950].

Впоследствии Ходжкинс [1966] установил соответствие между полуаналитическим методом Чебышева и решением нестационарного уравнения гиперболического типа. Хейвуд [1970] исследовал связь между решением уравнений для стационарного течения и пределом решения нестационарного уравнения.

В схемах нижней и верхней релаксации существенную роль играет умножение членов, стоящих в правой части уравнения (3.357), на множитель г, причем г < 1 соответствует нижней релаксации, а г>1 -верхней релаксации. Например, для схемы (3.358) уменьшение г, очевидно, эквивалентно уменьше-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 [ 49 ] 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199