Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 [ 48 ] 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

Вторая схема обладает несколько меньшей фазовой ошибкой, чем первая, но обе эти схемы существенно лучше схем второго порядка точности. Все эти схемы не оказывают воздействия на компоненту возмущения с длиной волны Л = 2Ах, т. е. для нее имеет место полная фазовая ошибка, как и во всех схемах (за исключением схем с разностями против потока).

Как и следовало ожидать, рассматриваемая схема обладает некоторыми недостатками. Для ее использования в случае двух пространственных переменных требуется четыре сетки с расположением узлов в шахматном порядке: по две переплетенных сетки для каждой пространственной переменной, построенных на целых и полуцелых слоях по времени (см. Роберте и Вейс [1966]). Объем вычислений при этом существенно увеличивается. Моленкамп [1968] отмечает, что при использовании схемы с расположением узлов в шахматном порядке требуется в 45 раз больше машинного времени и в 4 раза больший объем памяти, чем при использовании схемы с разностями против потока. Формальная ошибка аппроксимации E~0{Afi,Ax) не выдерживается глобально во всех точках, если граничные условия тоже не будут иметь ошибку порядка 0{Ах), что, как правило, не выполняется (см. разд. 3.3.2).

Неустойчивость, связанная с расчленением решения по временным шагам в схеме «чехарда» (разд. 3.1.6), приводит к появлению двух расчлененных решений; данная схема допускает появление четырех расчлененных решений. Для объединения этих решений, очевидно, требуется наличие диффузионных членов и (если считать, что опыт применения схемы «чехарда» может служить некоторым руководством) требуются малые числа Re при условии вероятного достижения стационарного решения. Шахматная сетка приводит также к некоторым затруднениям при постановке граничных условий; постановка граничных условий, предложенная Робертсом и Вейсом, приводит к тому, что интерпретация значений в узлах границы при помощи метода контрольного объема оказывается несогласованной с интерпретацией значений во внутренних узлах сетки, а это приводит к снижению точности вблизи границ.

Другая схема четвертого порядка точности с меньшей фазовой ошибкой предложена У. Кроули [1967]. Здесь на первом шаге по схеме Лейта (3.224) с At/2 вычисляются предварительные значения "+/2 g точках г, г"±1. На втором шаге используется схема «чехарда»:

Фазовая ошибка данной схемы обсуждается в работах У. Кроули [1967] и Фромма [1968].



3.1.20. Схема Фромма с нулевой средней фазовой

ошибкой

Большинство явных схем обладает только запаздываюшей фазовой ошибкой, т. е. рассчитанная скорость конвекции 6-ком-ноненты составляет «/-(6), где /-(9) 1. Фромм [1968] построил комбинацию схем с опережаюшей и запаздывающей фазовыми ошибками для получения схемы, которая 1) была бы безусловно устойчива и 2) имела бы нулевую среднюю фазовую ошибку.

Идея такой схемы заключается в определении точного решения (для линеаризованного уравнения с постоянным а) в новый момент времени при С = 1. Из этого точного решения при помощи схемы Лейта с разностями назад но времени получается искомое решение при С < 1. Для простоты продемонстрируем эту идею сначала на схеме с разностями вперед по времени и с центральными разностями по пространственной переменной, а не на схеме Лейта.

Для точного решения при числе Куранта, равном единице, имеем At = Ах/«. Тогда перенос сеточных значений от точки к точке в случае точного решения происходит таким образом:

?Г = ?-1(3.347а)

С (з.з47б)

S;!f = ?; 2-?- 2- (3.347b)

Искомое решение находится переходом по времени в обратном направлении от t-{- At до t-\- At, где At < At; тогда

= -" - - й:г - cry (3.348)

Разрешая это уравнение относительно и замечая, что

ii = l-C, (3.349)

получаем

С == + (1 - С) iCf - СП- (3-350)

Члены в правой части определяются точным решением (3.347), и, учитывая обозначение ;"* = имеем

?r=Ci + (C-l)(S--?"J- (3.351)

Уравнение (3.351) показывает построение одномерной схемы с опережающей фазовой ошибкой. Вместо центрально-разностного представления второго порядка точности для б+/л;, принятого в уравнении (3.348), Фромм берет схему Лейта



дробных шагов по времени (3.254) для двух пространственных переменных. Схема с опережающей фазовой ошибкой комбинируется (в смысле осреднения) со схемой Лейта (3.254), которая имеет запаздывающую фазовую ошибку. В результате получается схема Фромма, названная «схемой с нулевой средней фазовой ошибкой». Отметим значения, вычисленные на полушаге п + /г и не имеющие физического смысла, знаком тильда и положим Cx = mA Ax и Су - v At/Ay. Тогда схема Фромма с нулевой средней фазовой ошибкой будет иметь следующий вид:

+ (Ц) (?"-2. / - i + (3-352a) I С -

" / i, I + /-1 ~ l. /+1 l. /-2 ~ l. /) +

C2 / - 2C

+ -f ill. /-. - 2L. / + L. /+.) + [ \ ") ill. 1-2 - %i. i-i + L /).

(3.3526)

Эта схема устойчива при C + Q 1- Фромм [1968] построил изолинии модуля G и фазовой ошибки в зависимости от параметров Сх, Су и 9. Несмотря на то что схема формально имеет второй порядок точности, ее фазовые свойства существенно лучше соответствующих свойств схем четвертого порядка точности Робертса - Вейса [1966] и Кроули [1967], рассмотренных в предыдущем разделе. Как и для этих схем, затраты машинного времени для схемы Фромма значительно больше затрат для более простых схем. Как и в схеме Лейта и во всех схемах дробных шагов здесь имеется трудность, связанная с постановкой граничных условий на первом полушаге (3.352а). Эти трудности можно преодолеть, выбирая в качестве значений t, на стенке значения t, с первого полушага или получая их итерационным путем (см. разд. 3.1.16). Фромм) рекомендует вблизи границы переходить к более простым разностным схемам с центральными разностями или с разностями против потока. Разностные схемы типа (3.352) с учетом диффузионных членов пока еще не появлялись в открытой литературе.

Упражнение. Построить схему с нулевой средней фазовой ошибкой на основе разностей против потока.

Личное сообщение.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 [ 48 ] 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199