Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 [ 46 ] 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

(см. разд. 3.1.6), но в отличие от последней не обладает неустойчивостью, связанной с расчленением решения по временным шагам. Эта схема двухслойная, но при ее программировании на Фортране достаточно одного массива для хранения и

Однако любая ошибка, допущенная при вычислении значений на границе в начале обхода узловых точек, может расти не с увеличением времени, а при изменении пространственной координаты. Пусть все = О, и пусть на граничное значение + наложена некоторая ошибка е. Тогда из уравнения (3.332) следует, 4Tog+} = ge. Для того чтобы избежать увеличения ошибок (скажем, машинных ошибок округления) вдоль пространственной координаты, необходимо, чтобы при возрастании i (tf) было llll, а при уменьшении i было <1.

Для схемы чередующихся направлений оба эти ограничения приводят к условию С1 (см. задачу 3.19). Это один из примеров, когда обычный метод фон Неймана не дает ответа относительно действительной вычислительной неустойчивости.

Подобно неявным схемам, явные схемы метода чередующихся направлений в применении к уравнению конвекции для невязкой жидкости приводят к появлению бесконечной скорости распространения возмущения, что не является свойством дифференциального уравнения.

Рассмотренная явная схема метода чередующихся направлений не комбинировалась с явной схемой метода чередующихся направлений для уравнения диффузии с целью получения безусловно устойчивой явной схемы для полного уравнения, включающего конвективные и диффузионные члены, и не использовалась для решения реальных задач гидродинамики.

Упражнение. Показать, что явная схема метода чередующихся направлений Саульева (3.315) для уравнения диффузии не приводит к росту ошибок при переходе от одной пространственной точки к другой.

3.1.18. Схема «классики»

Эта схема была впервые использована для итерационного решения уравнения Пуассона Шелдоном [1962] (см. разд. 3.2.7), а для решения уравнений, описывающих течение сжимаемой жидкости. Скалой и Гордоном [1966, 1967]. Гурли [1970а] обобщил эту схему, доказал ее устойчивость для общего случая уравнений многомерных течений, применил схему к нестационарному уравнешш теплопроводности и к эллиптическим уравнениям и дал ей точное образное название «классики»,



Рис 3 14 Схема «классики» Ромбики соответствуют первому обходу, четному числу 1 + / + п; кружки - второму обходу, нечетному числу ( + / + «.

значения в узлах с нечетной суммой i + / (на рисунке они отмечены ромбиками). Для простого уравнения диффузии

dl д% dt

W-J] + W (3-336)

получаем

n+l =.« I лу г "+1, / ~ / + g"-l / I С /+1 ~ / + S" 7-1

fe>/ + 4 Ах А? J

i + j нечетное. (3.337)

Этот первый обход основан на схеме с разностями вперед по времени и с центральными разностями но иространственным переменным в узлах с нечетными i j. При втором обходе на том же слое но времени выполняются тс же вычисления в узлах с четной суммой ij (на рисунке они огмечены кружками), причем в соседних точках берутся значения на (п--1)-м слое, полученные при нервом обходе:

i + j четное. (3.338)

Этот расчет при втором обходе полностью неявен в том смысле, что значения в точках (t,/), (г±1,/) и {i,j±\) бе-рутся на (ах-- 1)-м слое, но эта «неявность» не влечет за собой

Это название связано со способом обхода расчетных точек, показанным на рис. 3.14. На каладом слое по времени п обход точек иространственной сетки совершается дважды. На нервом и последующих слоях по времени с нечетными п вычисляют



необходимости решения системы алгеб-раических уравнений, так как значения в соседних точках на (ах+1)-м слое уже известны в результате расчета при нервом обходе, а значение можно определить простым исключением:

j.n+i (n I iltl I + £"-1.; I £","/+1 + £",/- Л /Л I л- -i.l Ax Ay )>VAxAy)-

(3.339)

Ha втором и последующих слоях по времени с четными п роли узлов, отмеченных ромбиками и кружками, меняются. Кратко это можно резюмировать так: при г + / +" четном берется разностное уравнение (3.337), а при г + / + гг нечетном - уравнение (3.338)

Скорость расчета существенно увеличивается при использовании соотношения (3.340), следующего из алгебраической структуры схемы (Гурли [1970а1).

Упражнение. Показать, что из уравнений (3.337) и (3.338) следует соотношение

llf = 2l1+i-II,, г + / + п четное. (3.340)

На тех слоях по времени, где требуется выдавать информацию во всех точках, надо вести расчеты по основным уравнениям схемы.

Формально рассматриваемая схема имеет ошибку аппроксимации £ = 0(А/, Ах, Аг/2). Схема применима и для уравнения, включающего конвективные и диффузионные члены, причем соотношение (3.340) сохраняется.

Гурли [1970а] показал безусловную устойчивость этой схемы для уравнения диффузии и для уравнения, включающего конвективные и диффузионные члены, когда конвективные члены представляются разностями против потока. Скала и Гордон [1966, 1967] применяли схему «классики» с разностями против потока для расчета течения вязкой сжимаемой жидкости. Однако возможно, что такие схемы могут использоваться и при представлении конвективных членов центральными разностями, как это делается в неявных схемах метода чередующихся направлений. Гурли [1970а] сообщает, что из-за отсутствия обращения трехдиагональных матриц и эффективности соотношения (3.340) расчет одного шага по времени по схеме «классики» производится в три-четыре раза быстрее, чем по неявной схеме метода чередующихся направлений Писмена - Ракфорда. Кроме того, схема «классики» существенно проще для программирования по сравнению с неявной схемой метода чередующихся направлений (особенно для областей сложной формы)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 [ 46 ] 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199