Запорожец  Издания 

0 1 2 3 [ 4 ] 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

слабым скачком, то для вязкого газа существует непрерывное решение. Представляется, что для более общих случаев и для задач о течении смешанного типа ничего действительно полезного относительно существования решения пока не установлено ).

Существование решения представляет собой в некотором смысле меньшую проблему в том случае, когда расчеты ведутся по нестационарным уравнениям, а этот подход оказался, вообще говоря, наиболее успешным при решении полных уравнений для течения вязкой жидкости. Будучи уверенными в справедливости нестационарных уравнений Навье - Стокса, мы склонны думать, что численное решение, полученное по физически реальным начальным условиям, имеет определенную ценность. Если же стационарного решения не существует, то, проводя нестационарные конечно-разностные расчеты, мы дюжем убедиться в этом. Может случиться, однако, что непрерывное течение, которое не устойчиво по отношению к малым возмущениям, будет оставаться устойчивым при численном моделировании. Это может иметь место как при крупномасштабной неустойчивости (такой, как отрыв вихрей), так и при мелкомасштабной турбулентности в сдвиговом слое. Кроме того, внесение в полные уравнения Навье - Стокса приближенных допущений (например, линеаризации Буссинеска) лишает уверенности в существовании решения. Это особенно относится к тем случаям, когда приходится работать с непроверенными уравнениями состояния. Годунов и Семендяев [1962] показали, что при использовании определенного класса уравнений состояния численное решение газодинамических задач может быть неединственным.

Вопрос о единственности полученного численного решения вызывает даже большее беспокойство просто потому, что существует много примеров (как физических, так и чисто математических) неединственности стационарных решений. Наиболее очевидным примером физической неединственности течений являются работа двухрежимных приборов струйной автоматики и две устойчивые ориентации вихревой нити при обтекании стенки с полусферической выемкой (Снедекер и Дональдсон [1966]). В этих случаях имеет место выбор между двумя зеркально-симметричными картинами.

Более важным примером неединственности является гистерезис при срыве потока на крыловом профиле - при одних и тех же граничных условиях на угле атаки, близком к возникновению срыва, получаются совершенно различные картины течения в зависимости от того, с какой стороны приближаться

•) Статьи с последними исследованиями по этому вопросу можно найти в журнале Archive for Rational Mechanics and Analysis, издаваемом Трусдел-лом и Серрином и публикуемом издательством Springer-Verlag.



) в конечно-разностном методе отбрасывание этого решения (скачка разрежения) может осуществляться автоматически (см. Лаке [1954]).

К данному углу атаки - со стороны меньших (досрывных) или больших (послесрывных) значений. Мак-Глолин и Гребер [1967] приводят другие примеры неединственности отрывных течений. Пиачек [1968] расчетами получил неединственные стационарные картины для естественной конвекции вихря, для которых, вероятно, существуют физические аналоги. Автор настоящей книги численно получил примеры течений, похожих на сверхзвуковой диффузорный срыв (см. разд. 5.7.6). Эти расчеты дают пример неединственности численного решения, возникающей из-за численной постановки граничных условий, хотя при этом и существует физический аналог.

Эймс [1965] приводит пример квазилинейного эллиптического дифференциального уравнения, не обладающего единственностью решения. Другим простым математическим примером неединственности является классическая теория косого скачка уплотнения. При сверхзвуковом обтекании клина невязким газом существуют три решения кубического уравнения Томпсона (Anon [1953]). Одно из этих решений приводит к уменьшению энтропии и отбрасывается), а из двух оставшихся решений «слабое» решение, как известно, отвечает физическому обтеканию клина, в то время как «сильное» решение отвечает задаче с отошедшей ударной волной.

При рассмотрении всех этих примеров естественно напрашивается следующий вопрос: к какому из решений должна сходиться численная схема, если она вообще сходится к какому-либо решению? На этот вопрос нельзя дать определенный ответ. Необходимо руководствоваться физическим опытом, т. е. экспериментом и интуицией, для проверки разумности получаемых решений. Появление более строгих критериев зависит от разработки более совершенной математической теории, которая появится в будущем.

1.4. Предварительные замечания об аппроксимации, сходимости и устойчивости решений

Математические основы вопросов сходимости и устойчивости численных схем хорошо развиты только для линейных систем. Результаты линейной теории используются в виде наводящих соображений для нелинейных задач, а их применимость проверяется затем численными экспериментами.

В основе конечно-разностной схемы лежит замена производных типа df/dx в дифференциальных уравнениях на разностные отношения типа Af/Ax в конечно-разностных уравнениях. Схо-



дящаяся конечно-разностная схема математически определяется как схема, дающая конечно-разностное решение, которое стремится к решению дифференциального уравнения при стремлении размера ячейки сетки к нулю.

Эта концепция более тонкая, чем может показаться с первого взгляда. Она является не просто перефразировкой ньютоновского определения производной; под пределом здесь понимается предел всего решения дифференциального уравнения, а не просто его отдельных членов (производных). Последнее свойство называется аппроксимацией (Лаке и Рихтмайер [1956]). Например, конечно-разностный аналог дифференциального уравнения может состоять из конечных разностей, каждая из которых аппроксимирует соответствующий член дифференциального уравнения, но в целом этот аналог может быть неустойчивым и, следовательно, не сходящимся. Кроме того, здесь не принимается во внимание проблема критерия практической сходимости.

ОБрайен, Хаймен и Каплан [1950], а также Эдди [1949] определяют устойчивость исходя из роста или затухания ошибок округления. Лаке и Рихтмайер [1956] дают более общее определение устойчивости, устанавливая границу, до которой может возрастать любая компонента начальных данных в процессе численного расчета. Фундаментальную роль здесь играет теорема Лакса. Она устанавливает, что для системы линейных уравнений наличие устойчивости является необходимым и достаточным условием сходимости конечно-разностной схемы, аппроксимирующей систему дифференциальных уравнений.

Критерий устойчивости фон Неймана (Чарни с соавторами [1950], ОБраейн с соавторами [1950]) требует, чтобы наибольшее собственное значение матрицы перехода итерационной схемы было меньше, чем единица минус члены порядка ошибки аппроксимации. Лаке и Рихтмайер [1956] показали, что это условие является достаточным для устойчивости линейной системы с постоянными коэффициентами и что в случае, когда матрица перехода удовлетворяет одному из трех наборов свойств, выполнение этого критерия является достаточным также для сходимости. Эти и другие вопросы, связанные с устойчивостью, обсуждаются в разд. 3.1 и в монографии Рихтмайера и Мортона [1967].

Отметим здесь, что ни линейный анализ устойчивости, ни даже само ее определение не являются вполне удовлетворительными. Филлипс [1959] привел пример того, что он назвал нелинейной устойчивостью; она возникает из непостоянства коэффициентов уравнений (Лилли [1965]). Томмен [1966] показал, что при использовании двухшаговой схемы Лакса - Вен-дроффа или схемы Лакса - Вендроффа - Рихтмайера (Рихт-



0 1 2 3 [ 4 ] 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199