Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 [ 39 ] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

где тогда

\0Г=СС = -Д+?== 1. (3.272)

Другие преимущества модифицированной схемы Эйлера заключаются в следующем: в отличие от схемы «чехарда со средней точкой» здесь не требуется двух наборов начальных данных и не развивается неустойчивость, связанная с расчленением решения по времени.

Такое же усреднение по времени, примененное к уравнению диффузии (3.257), приводит к известной схеме Кранка -Николсона [1947], также имеющей ошибку порядка О {АС, Ах):

г л2?-га 62$"+""

"2" +

(3.273)

L Ьх Ьх

Анализ устойчивости по методу фон Неймана дает

1/"+ = Г -f I {е" + е-" - 2) -f Г), (3.274)

= V" + d (cos 9 - 1) (Г + (3.275)

„ 1 - d (1 - cos 9)

G= i+rf(i cos9) • (3.276)

Для 1 - cos9 = 0 имеем G == 1. Рассмотрим теперь случай, когда 1-cos9>0. Если d->0, то G-•1 (как это и должно быть при А/-+0). Если d->oo, то G->-1. Таким образом, схема Кранка - Николсона абсолютно устойчива и G<1 для больших At; но большие по величине At приводят к обусловленным чрезмерно большим шагом по времени осцилляциям некоторых фурье-комионент. Это наводит на мысль, что схема Кранка - Николсона второго порядка при достаточно больших At будет менее точной, чем явная схема с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной (схема ВВЦП). Действительно, это получается

тель перехода для этой схемы тождественно равен единице, G= 1. Действительно,

Г+ = Г - {е" - е-") + V% (3.268)

Г+= Г-/а(Г+Ч "), (3.269)

а = (С/2) sin 9; (3.270)



просто и сопоставлением членов, дающих ошибку схем: для достаточно малых At член порядка 0(АЯ) будет меньше члена порядка О (At), а при достаточно больших At дело обстоит наоборот.

Упражнение. Исходя из равенства (3.276), показать, что если шаг At в схеме Кранка - Николсона превышает критическое для явной схемы ВВЦП значение At, то будут иметь место обусловленные чрезмерно большим шагом по времени осцилляции фурье-компоненты с длиной волны Л = 2Ах.

Модифицированная схема Эйлера для уравнения конвекции (3.267) и схема Кранка - Николсона для уравнения диффузии (3.273) могут быть скомбинированы для применения к полному уравнению, включающему конвективный и диффузионный члены; построенная схема также будет абсолютно устойчивой.

В рассмотренных «частично неявных» схемах значения dt,"/dx на п-м и дt,+Удx на {п-\-\)-м слоях берутся при осреднении с одинаковыми весовыми множителями, поэтому ошибка здесь имеет порядок О (Af, Ax). Наиболее точный вариант такого подхода, частично основанный на ранней работе Брайена [1961], был предложен Стоуном и Брайеном [1963]. В этой работе рассматриваются отдельные весовые множители и делается попытка их оптимизации. Наилучший результат получается в том случае, когда для разных шагов по времени принимаются различные весовые множители.

Другая неявная схема была рассмотрена Ивановым с соавторами [1970].

Один из недостатков неявных схем, применяемых к уравнению конвекции в случае невязкой жидкости, заключается в том, что они приводят к бесконечной скорости распространения возмущения. Для модельного уравнения в случае невязкой жидкости возмущение величины t, распространяется за время At на расстояние / = ы А/. Для простой явной конечно-разностной схемы возмущение всегда распространяется за любое время At в соседнюю узловую точку на расстояние / = Ах. Но для неявной схемы, поскольку в ней все "+ рассматриваются одновременно, возмущение распространяется па расстояние /= оо (или до границ расчетной сетки)). Заметим, однако, что это свойство желательно для уравнения диффузии, которое в дифференциальной форме имеет бесконечную скорость распространения возмущения. Простые явные конечно-разностные аналоги

) Такая бесконечная скорость распространения возмущения также означает, что хотя бы некоторые фурье-компоненты имеют опережающую фазовую ошибку в иротивоиоложность запаздывающей фазовой ошибке в простых явных схемах.



для уравнения диффузии не обладают таким свойством. Для того чтобы моделировать правильное качественное поведение уравнения, включающего конвективный и диффузионный члены, по скорости расиространения возмущения, можно для конвективного члена применять явную схему, а для диффузггонного члена - неявную (см. Прахт 11971а]). Конечно, такое поведение не существенно, если отыскивается только стационарное решение.

Другим очевидным недостатком рассмотренных неявных схем является необходимость одновременного решения на новом шаге по времени N алгебраических уравнений (где N - число точек по пространственной переменной, в которых решение не определяется известными граничными условиями). Если при решении нелинейной задачи частично неявные схемы должны действительно обеспечить порядок гочности О (АР, Ах), то поле скоростей ы"+ должно рассчитываться также неявно. В настоящее время решение сисгемы нелинейных уравнений является весьма трудным делом, и на практике неявные расчеты конвективного поля не проводятся. Решить систему из N линейных уравнений, конечно, труднее, чем провести расчеты по простой явной схеме, но, как будет показано ниже, такое решение не является исключительно трудным и не требует чрезмерно много времени (в одномерном случае).

Конечно-разностное уравнение в каждой точке i включает неизвестные значения только в двух соседних точках i± 1. Для иллюстрации покажем, как можно проводить решение системы таких уравнений. (В действительности описываемый способ рещения применяется не часто.) Пусть известны значения и t,i на {п-\-1)-м слое. Уравнение в узловой точке имеет вид

i-i + ali + bXi+i = c, (3.277)

где верхний индекс п -j- 1 опущен для простоты. При известном значении из уравнения (3.277), рассматриваемого в точке i = 2, можно найти

?3 = f(?2, ?:), (3.278)

т. е. 3 как функцию значений t,2 и Переходя к точке i = 3, получаем

?4 = f(?3,?2). (3.279а)

При помощи (3.278) выразим через 2 и что даст

?4 = f(2, ?i). (3.2796)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 [ 39 ] 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199