Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [ 37 ] 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

В пределе при 0->-п Im(G)->-0 и из равенства (3.241) получаем, что sin(A0)-O или (А0)к;ру-О. Таким образом, фазовая ошибка будет полной, причем фурье-компонента с наименьшей длиной волны становится полностью стационарной. Этот эффект также имеет место в схеме «чехарда со средней точкой» (см. разд. 3.1.6) и типичен для всех схем, использующих центральные разности для члена S/Sx (Фромм [1968]).

При С = 1 из равенства (3.232) следует, что G2 = 1. Здесь фазовая ошибка также исчезает, поскольку равенство (3.241) принимает вид

[sin(A0)]j,py = -, (3.249)

(A0)jpy » - 0, (3.250)

что соответствует равенству (3.240) для точного решения при С = 1. Это легко проверить, полагая С = 1 в конечно-разностном уравнении (3.224):

= - Y [1%, - tU) + i- (S?+, + tU - Щ)> (3.251)

откуда S""*"= что соответствует точному решению.

В работе Фромма [1968] приведены изолинии фазовой и амплитудной ошибок схемы Лейта в зависимости от параметров С и 0. Отмечается хорошее поведение этих линий в предельных случаях при С- 1 и 0-0, 2п. В качестве фундаментальной работы по фазовым ошибкам можно рекомендовать статью Кроули [1968а].

Если интересуются только стационарным решением, то фазовые ошибки не представляют интереса. Однако в нестационарном решении они могут играть важнейшую роль. Основываясь на формуле (3.248), Лейт [1965] нашел, что число шагов по времени, при котором получается фазовая ошибка в один радиан, равно Л = 6/(С03). Лейт считает, что при численных расчетах фазовые ошибки оказываются важнее амплитудных ошибок.

Упражнение. Определить фазовую н дисперсионную ошибки для схемы с разностями против потока.

Другой тип ошибки, которая оказывает влияние на точность нестационарных и стационарных расчетов при использовании как схемы Лейта, так и любых других схем, называется ошибкой, обусловленной неразличимостью. Ошибка, обусловленная неразличимостью, впервые была описана и проанализирована Филлипсом [1959]. В качестве других важных работ на эту



тему можно указать статьи Граммельтведта [1969] и Роберта с соавторами [1970]. Здесь мы только опишем это явление.

Неразличимость связана с обменом энергией между фурье-компонентами (термин «энергия» здесь используется в общем смысле первого момента переносимой функции ). Как уже было указано выше, наименьшая длина волн компонент, которые можно различить при данной разностной сетке, равна Л = = 2Ах. Обычно больший интерес представляет точность длинноволновых компонент, и поэтому невозможность различать коротковолновые компоненты могла бы показаться несущественной.

В самом деле, если предположить, что конвективное поле и всюду постоянно, то ошибка, обусловленная неразличимостью, не будет появляться. Однако в нелинейных задачах, как известно, компоненты взаимодействуют таким образом, что энергия переносится от длинноволновых компонент к коротковолновым. (В физике известно, что энергия турбулентности обычно переносится от больших вихрей к меньшим, а энергия малых вихрей диссипирует или преобразуется во внутреннюю энергию посредством трения.) Для того чтобы имело место такое взаи-.модействие компонент, совсем не обязательно наличие настоящей нелинейности; достаточно, чтобы скорость и была функцией пространственных переменных.

Теперь возникает следующий вопрос: что будет происходить в том случае, когда механизм диссипации для отбора энергии от коротковолновых компонент отсутствует и когда при расчетах нельзя различить компоненты с длиной волны Л < 2Ах? Неожиданный ответ заключается в том, что тогда энергия перераспределяется и вновь переходит к длинноволновым компонентам, искажая эти представляющие наибольший интерес компоненты и даже приводя к некоторому роду численной неустойчивости (Филлипс [1959]). Наличие в расчетах какого-либо затухания, физического или численного, обеспечивает диссипатив-ный механизм и тем самым облегчает решение этого вопроса. Таким образом, расчеты течений при малых Re и расчеты течений невязкой жидкости при помощи численных методов, вводящих искусственное затухание коротковолновых компонент, меньше страдают из-за ошибок, обусловленных неразличимостью.

Слово неразличимость используется также для описания того факта, что на конечной сетке просто нельзя добиться различимости некоторых частот. (Именно из-за этого энергия может перераспределяться к длинноволновым компонентам.) То обстоятельство, что два таких распределения, как = = cos [it(m ± «)t], имеют в точности одинаковые значения в узловых точках г, является следствием простых тригонометрических тождеств. Такая же дискретизация или «сеточное» пред-



ставление явления во времени вызывает стробоскопические эффекты в движущихся картинах, например колеса вагона кажутся замедляющими движение и вращающимися в обратном направлении. Такое смещение частот является неизбежным следствием дискретизации; см. Хемминг [1962, с. 276, 303].

В заключение этого раздела рассмотрим обобщение схемы Лейта на случай двух пространственных переменных. Очевидным обобщением уравнения (3.224) будет уравнение

= / - Т С. / - Щ-ь ;) + Т ("+1, /-2" / + /)-- Т с. ш - 1 /-.) + 7 Ч /+. - 2?, / + К /-i). (3.252) или в очевидных сокращенных обозначениях

т -1-1 с/, (Г) + Y СЧ1 (С) - i с Д (О + i С1(>1 (П.

(3.253)

где Сд: = ыА/Ах, а Су = vAt/Ay. Эта схема не является схемой второго порядка точности. Схема второго порядка должна была бы включать член с производной д%/дхду в разложениях в ряды Тейлора. Более того, данная схема неустойчива (Лейт [1965]). Таким образом, конечно-разностная схема (3.252) является примером двумерной неустойчивой схемы, полученной в результате комбинации двух одномерных схем, каждая из которых устойчива.

Лейт [1965] дает устойчивую двумерную схему, которая основывается на понятии дробных щагов ио времени (Марчук [1965]) и которую теперь обычно называют схемой расщепления по времени. Ее идея заключается в последовательном применении каждой одномерной схемы по отдельности, причем результаты, получающиеся на первом промежуточном щаге, ли-щены физического смысла). Эта схема записывается так:

= х\ (О + J СЧ1 (а (3.254а)

iVi = itT - Т ("") + J 41 (?")- (3-2546)

Она является аппроксимирующей, в отличие от схемы (3.253) обеспечивает полный второй порядок точности и устойчива при

условиях Сл; < 1, Су < 1.

) Эта концепция похожа на расщепление, ранее использованное Пис-меном и Ракфор,аом [1955] в неявной схеме метода чередующихся направлений (см. разд 3 1.16), но ие эквивалентна ему. В монографии Яненко [1967] рассматриваются и другие методы дробных шагов по времени.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 [ 37 ] 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199