Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 [ 36 ] 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

ошибку порядка О {At, Ах) при ae-huAt (сравните с формулой (3.18)).

Однако при исследовании только стационарных уравнений для этой схемы снова получается ае = kuAt, откуда следует, что стационарное решение зависит от At и имеет только первый порядок точности. Такая аномалия связана с необходимостью постановки дополнительного условия на выходной границе потока при использовании центральных разностей для производных по пространственным переменным. На практике высокая точность обеспечивается за счет постановки на выходной границе потока условия градиентного типа (разд. 3.3.7). Эту аномалию можно рассматривать только совместно с граничными условиями; подробности можно найти в статье Роуча [1971в].

Отметим один важный момент, на который обычно не обращают внимания. Если в уравнении, включающем конвективный и вязкий члены, для конвективного члена используется схема Лейта, то схемная искусственная вязкость имеет вполне определенный вид ае = /гИА, за исключением единственного случая, когда С = 1 (см. приложение Б).

Анализ устойчивости при помощи метода фон Неймана можно провести очень просто, используя пример в разд. 3.1.5.6, относящийся к схеме с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной, и замечая, что теперь в уравнении (3.105) надо заменить d на 0/2. Тогда в силу формулы (3.108) для множителя перехода в схеме Лейта будем иметь

G=l-С2(1-cose)-/Csine, (3.231)

откуда следует, что

I G F = 1-f С2 (С2 - 1) (1 - cos 6)2, (3.232)

и для устойчивости должны выполняться неравенства

- К 1 Н- С2 (С2 - 1) (1 - cos 6)2 < -f 1. (3.233)

Легко проверить, что левое неравенство выполняется всегда, а правое, как обычно, только при С 1.

При помощи формулы (3.232) можно также исследовать ошибку, обусловленную затуханием, и фазовую ошибку рассматриваемой схемы. Лейт [1965] провел такой анализ для случая, когда С -С 1 и 6 мало, что представляет интерес при метеорологических расчетах. Первое условие имеет место потому, что метеорологические расчеты проводятся при малых At,



) Продифференцировав (3.237), получим ddt --lukt, и дЦдх Ikx, т.е. уравнение (3/(3 = -udtjdx выполняется точно.

а второе связано с тем, что наибольший интерес здесь представляют длинноволновые (по сравнению с Ax) возмущения, когда 6 = kxAx = 2яДл;/Л < 1. Полагая < и 1 - cos 6 ?»6/2, формулу (3.232) можно переписать в следующем виде:

I G Р « 1 - 02074; (3.234)

так как (1 - е) 1 - е/2 при е 1, отсюда следует, что

I G I 1 - 02078. (3.235)

Поскольку для исходного дифференциального уравнения G = = 1, член C20V8 представляет собой приближенное выражение для ошибки, обусловленной затуханием. Заметим, что ошибка, обусловленная затуханием, имеет четвертый порядок по Ах.

Аналогично можно оценить фазовую ошибку. Как уже обсуждалось выше (см. разд. 3.1.6), точная фазовая скорость для дифференциального уравнения при всех 0 будет и. Решение дифференциального уравнения можно (пренебрегая влиянием границ) записать в виде (3.160) или в следующем эквивалентном виде:

l{x,t) = l{x-ux,t-x), (3.236)

где X - произвольный сдвиг по времени. Это решение можно записать через фурье-компоненты с волновым числом kx и соответствующей амплитудой V ):

,=1/ехр[/йЛ-«01, (3.237)

и{х, /)=1/ехр[/(0-МО]. (3.238)

Значит, точный сдвиг по фазе за время т для решения дифференциального уравнения равен Д0 = -kxUX. Сравним теперь этот результат со сдвигом по фазе для численного решения. Вычислим сдвиг по фазе для дифференциального уравнения (ДУ) в частных производных за время т = At:

(Д0)ду = -МД/ = -/гСАх, (3.239)

(Д0)ду = -С0. (3.240)

Фактический сдвиг по фазе для конечно-разностного уравнения (КРУ) находится из геометрических соображений (см., например, рис. 3.8) и определяется равенством

sin[(A0)py] = i. (3.241)



Из уравнения (3.231) имеем ImG = -Csin9. Полагая sin(A6)« Д6 и используя равенство (3.235), получаем

ткру=Г-с1В (3.242) или, поскольку (1 - е)- « 1 + е при е < 1,

(Ae)jpy = - С sin 6 (1 + cevs). (3.243)

Для удобства сравнения с (3.240) перепишем (3.243) в виде

{Щру = - Сбг, (3.244)

Поскольку 6 мало, раскладывая sin 6 в ряд, получаем

е - е/з! + о (9=)

(3.246)

~ 9

г«1-е2/6< 1. (3.247)

Сравнивая равенства (3.244) и (3.240), мы видим, что в конечно-разностном решении каждая фурье-компонента переносится вдоль оси X медленнее из-за наличия множителя г(6)< 1. В точном решении дифференциального уравнения в частных производных (ДУ) все компоненты переносятся за счет конвекции со скоростью м; в решении же конечно-разностных уравнений остаются все фурье-компоненты точного решения, но различные компоненты переносятся с различными скоростями. Эта ошибка больше для больших 6, т. е. для более коротких длин волн Л. Таким образом, в процессе численного решения различные фурье-компоненты будут отклоняться одна от другой или диспергировать; это явление часто называется дисперсионной ошибкой. (Одно из первых исследований дисперсионной ошибки было дано в работе Стоуна и Брайена [1963].)

Фазовая ошибка за один шаг по времени будет Е = = (Ае)кРУ-(Ае)ду. Из формул (3.240) и (3.243) находим, что -CsinO -(-С6)= -С[6 -673! + ...-6], или

Eq С676. (3.248)

Таким образом, фазовая ошибка имеет третий порядок по 6, а следовательно, третий порядок и по Ах.

Предельный случай коротких длин волн можно рассмотреть без дополнительных приближенных допущений. При С -< 1 из уравнения (3.232) следует, что \G\<i 1, за исключением случая, когда 6 = 0. Из равенства (3.231) имеем ImG --Csin6



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 [ 36 ] 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199