Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [ 35 ] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

+ udt,/dx. Производная Dt,/Dt связана с частицей жидкости, а уравнение конвекции для невязкой жидкости как раз означает, что Dt/Dt = О, т. е. значение любой частицы остается неизменным ).

Как показывает рис. 3.12,6, уравнение конвекции без учета вязких членов означает, что С?* = Г- Построение конечно-разностных уравнений сводится к задаче приближенного определе-

t + At



{i-<)b,x

Рис. 3.12. Построение схемы Лейта в одномерном случае, а - траектории частиц в плоскости (х, t) при и = const; б - перенос величины t,*.

ния t,* с помощью какой-либо интерполяции по известным значениям "g".

Заметим сначала, что при некоторой определенной комбинации параметров траектория проходит через узловую точку с координатами t-1 и «. В этом случае C = t1-\, т. е. находится точно без внесения ошибки при интерполяции. Необходимое для

) Тем, кто впервые сталкивается с этим понятием, может оказаться полезной следующая интерпретация. Представим себе, что на поверхность плавно текущей воды помещена капля чернил, и будем рассматривать как концентрацию окраски, которая, очевидно, приписывается (конечной) частице жидкости. Если пренебрегать диффузией, то эйлерово описание изменения окраски в точке дается уравнением dtjdt = -udtjdx, а лагранжево - уравнением DtJDt = 0. Рекомендуется также объяснение, предложенное Бер-дом, Стьюартом и Лайтфутом [1960].



ЭТОГО условие (см. рис. 3.12,6) имеет вид «А/== Ах, или С=1; значит, при числе Куранта, равном единице, получается точное решение "+ = J i (как и в разд. 3.1.6).

Рассмотрим теперь более общее условие С=? 1. Если uAt < < Ах, то точка со значением 1,* находится между точками i и i-1 (см. рис. 3.12,6). Используя для приближенного определения * линейную интерполяцию, получаем оценку с первым порядком точности

I-tli-il-lU)- (3.222)

Полагая g+ = *, будем иметь

(3.223)

что соответствует схеме с разностями против потока, рассмотренной в разд. 3.1.8 Если применить линейную интерполяцию по точкам t + 1 и / - 1, то получится схема с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным. Если же для интерполяции по точкам i-1, i и i + 1 использовать квадратичный аппроксимационный полином (см. разд. 3.1 1), то получится схема Лейта

11+ = й1 - J ("д) (Г+1 ~ "-0 + "2 (tf) ("+1 ~ i-i)-

(3.224)

Число Куранта С = uAt/Ax теперь можно рассматривать как параметр интерполяции Ограничение С 1, накладываемое условием устойчивости, как можно показать применительно к разностным уравнениям (3.224) и (3.223), теперь можно интерпретировать как требование, что i* должно определяться интерполяцией, а не экстраполяцией

Другой вывод схемы Лейта получается при рассмотрении разложения в ряд Тейлора вперед по времени до 0{Afi), как и при выводе схемы Адамса - Бэшфорта, но вторая производная по времени теперь определяется из исходного уравнения конвекции следующим образом.

"=-и, (3.225)

dt дх

= + +1 А/2! + О (At}. (3.227)

dt dxdt dx

Тогда разложение в ряд Тейлора дает



- *A.-liiiiA.3+-4-Lr-A,2.,(,.)

L дх

(3.229)

= - « 4f + Т [- 5 + -1Я + о {t\ Ах). (3.230)

" дхЧ

В уравнении (3.230) член, стоящий в квадратных скобках, при постоянном и равен нулю в силу связи (3.226). Коэффициент при д%/дх равен нулю, и в схеме Лейта нет схемной искусственной вязкости). Таким образом, схема Лейта, фактически представляя уравнение для невязкой жидкости в разностной форме с ошибкой порядка О {АР, Ах), приводит к той же форме (3.224), что и схема с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной, дающая в применении к полному уравнению для вязкой жидкости

) Диссипация появляется лишь в члене четвертого порядка.

Используя для производных в уравнениях (3.225) и (3.226) формулы с центральными разностями второго порядка б/бх и бХ/бх и подставляя их в (3.227), будем иметь

g«+i==g« „A/ + la2A/2+0(A/3, д2) (3.228)

этот результат совпадает с (3.224) и показывает, что данная схема имеет второй порядок точности.

Эти два способа вывода схемы, один из которых основывается на квадратичной интерполяции по пространственной переменной, а другой - на разложении второй производной по времени, приводят к одинаковым результатам, так как уравнение (3.226) дает связь между производными dX/df и д%/дх. Однако эта связь справедлива только в случае уравнения для невязкой жидкости при постоянном и. В этом случае схема Лейта совпадает со схемой Лакса - Вендроффа и другими двух-шаговыми схемами Лакса - Вендроффа, основанными на разложении по времени (см. гл. 5).

Наиболее интересный аспект, важный и при обсуждении других схем, связан с искусственным затуханием в схеме Лейта. Если все члены, входящие в уравнение (3.224), разложить в ряды Тейлора в окрестности точки (i, п), как это делается в методе Хёрта при исследовании устойчивости, то получится

5£ л. , 1 д%



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [ 35 ] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199