Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 [ 34 ] 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

3.1.12. Схемы Адамса - Бэшфорта и Крокко

Разностная схема Адамса - Бэшфорта, использованная Лилли [1965] для уравнения, содержащего только конвективный член, является явной одношаговой трехслойной по времени схемой с разностями вперед по времени; она имеет ошибку 0(А/2, Ал;2). Ее можно интерпретировать как конечно-разностную аппроксимацию второй производной по времени.

Запишем разложение в ряд Тейлора по времени;

3-dt

A/ + i

1 д%

2 dfi

(3.217)

Аппроксимируем вторую производную по времени односторонними конечными разностями;

" д

as dt

" dt i dt

г dt

L dt J

+0(A/). (3.218)

Подставляя это выражение в (3.217), получаем

ti+i

1 dt

+ от

А/2 + о (Л/3),

?Г = ?? +

" 1 as

n~l-

2 dt

i -

A/ + 0(A/3). (3.219)

Это выражение дает основную форму разностной схемы Адамса - Бэшфорта для конвективных членов. В сочетании с аппроксимацией диффузионного члена центральными разностями для момента времени п в случае плоской задачи получаем

g«+-g« + A/

3 6»g " . 1 Ьи.1 1 Ьх г 2 бд:

1М 2 Ьи

1М 2 бг/

+ б «V

бг/2 г/

(3.220)

Однако эта схема при наличии вязких членов имеет только первый порядок точности.

Основная форма разностного уравнения (3.219) была предложена Бэшфортом и Адамсом в 1883 г. Томас [1954] использовал аналогичную схему более высокого порядка для приближения к ударному фронту при помощи односторонних разложений по пространственной переменной и назвал эту схему схемой Адамса. Лилли [1965] применил такое же разложение по времени, как и в (3.219), для уравнения переноса вихря в невязкой



решения невелико. Лилли [1965] обна нее схемы Лакса - Вендроффа [1964 чие вязких членов в уравнении (3.220

нение, давая возможность выбрать шаг А в зависимости от числа Рейнольдса Re (см. задачу 3.11).

зужил, что эта схема точ-(см. разд. 5.5.5). Нали-стабилизирует это урав-

Крокко [1965] предложил схему для расчета квазиодномерного течения сжимаемой жидкости, которая будет аппроксимирующей только при достижении стационарного состояния. Эта схема имеет следующий вид:

l1 = l1-ul, + a%, (3.221а)

= (1 + Г) - Г . (3.221 б)

д,??.. + £?-.-2£Г (3.221В)

Крокко исследовал весовой множитель ) Г и в случае течения невязкой жидкости установил, что для устойчивости наименьшим значением Г должно быть Г = /г, а это в точности соответствует схеме первого порядка Адамса - Бэшфорта (уравнение (3.219)). Алгебраические выкладки при применении метода фон Неймана для анализа устойчивости схемы оказались слишком громоздкими, поэтому Крокко представил численные результаты исследования устойчивости графически, показывая при каких комбинациях Г, Rec, С и А/ имеет место устойчивость в расчетах для больших значений времени. В действительности расчеты течений были выполнены при Г = 1. Применение метода Хёрта для исследования устойчивости (см. задачу 3.12) дает в нестационарном случае значение ае = иА/(Г-/г), что также приводит к условию устойчивости Г /2-

Схемы Адамса - Бэшфорта и Крокко (так же, как схема «чехарда со средней точкой» и схема «чехарда» Дюфорта -• Франкела) имеют второй порядок точности для конвективных

) Это хорошо известный прием; см. Рихтмайер [1957].

жидкости и без каких-либо исторических ссылок назвал эту схему схемой Адамса - Бэшфорта.

Уравнение (3.219) в том виде, как оно записано, является безусловно неустойчивым уравнением со слабой расходимостью, обусловленной тем, что здесь множитель перехода имеет вид G = 1 -f 0{М) \ см. Лилли [1965]. Так как неустойчивость слабая, эту схему можно использовать для расчетов нестационарных течений невязкой жидкости при условии, что полное время



Пространственных производных. Подобно схемам «чехарда», в них для расчета значений на некотором слое по времени используются значения на двух предшествующих слоях, но в то же время они не являются схемами типа «чехарда», так как в них значение вычисляется как старое значение непосредственно в предшествующий момент времени плюс соответствующее приращение. Следовательно, эти схемы не приводят к расчленению решений по временным шагам, как схемы «чехарда». Они не обладают свойством транспортивности и не дают точного решения при С = 1.

Схема Миякоды [1962] (см. также Лилли [1965]) в некоторых отношениях сходна со схемой Адамса - Бэшфорта. Это четырехслойная схема, и для вычисления значений на слое п+1 в ней используются значения на слоях п - 2, п-1 и п. Схема Миякоды тоже имеет второй порядок точности и не приводит к расчленению решений по временным шагам. Она также является слабо неустойчивой и, по-видимому, не имеет каких-либо преимуществ по сравнению с более простой схемой Адамса - Бэшфорта.

3.1.13. Схема Лейта; фазовые ошибки, ошибки, обусловленные неразличимостью, расщепление по времени

Чрезвычайно интересна одношаговая двухслойная схема Лейта [1965] второго порядка точности; одномерный вариант этой схемы предложили ранее Нох и Проттер [1963] (см. также Вендрофф [1961]). Построим сначала схему для одномерного течения, обратившись к лагранжеву описанию движения жидкости, при котором следят за движением частиц.

На рис. 3.12, а стрелками изображены траектории (кривые в плоскости {х, t)) частиц жидкости для одномерной задачи при постоянной скорости и. При изменении времени от / до / + А/ частицы перемещаются в направлении х на расстояние мД/. Пометим теперь каждую частицу, приписав ей значение , причем t, может быть любым естественным свойством, связанным с отдельной частицей жидкости. В случае отсутствия диффузии каждая частица жидкости будет сохранять свое значение t- Таким образом, траектории, изображенные на рис. 3.12, я, представляют собой линии постоянного t,.

Уравнение конвекции для невязкой жидкости dt,/dt = == -идС,/дх как раз и означает, что есть некоторое свойство жидкости, которое не меняется в процессе течения. Это является определением субстанциональной производной, которая в обозначениях Лагранжа записывается как Dt,/Dt = dt/dt -\-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 [ 34 ] 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199