Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 [ 32 ] 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

) Сполдинг предложил называть схему с разностями против потока «схемой свинарника». Его мысль- заключается в том, что если t, рассматривать как концентрацию некоторого вещества, то мы должны почувствовать запах свинарника, когда находимся на его подветренной, а не на наветренной стороне (если исключить влияние диффузии).

В том сечении i, через которое переносится вихрь . Рассмотрим теперь стационарное решение и будем считать, что всюду у = 0; введем возмущение вихря Za, ь = б, полагая во всех остальных точках е = 0. Тогда в точке (а, b - \ ) получим

ь-1 5/4-0 иЬ --=-"-д]--0 = - -• (3.198)

Таким образом, возмущение из точки (а, Ь) переносится в направлении v в точку [а, b - \) несмотря на то, что скорость v тождественно равна нулю. Данная схема не обладает свойством транспортивности, хотя она представляет собой некоторую разновидность схемы с разностями против потока.

Формальное разложение в ряды Тейлора указывает на то, что схемы с центральными разностями точнее односторонних схем с разностями против потока. Как было отмечено в разд. 3.1.3 при обсуждении свойства консервативности, при использовании неконсервативной схемы можно точнее аппроксимировать производную, но если в каком-либо критерии точности учитывается свойство консервативности, то система в целом не будет точнее. Оказывается, свойство транспортивности имеет такой же физический смысл, как и свойство консервативности. Схемы с разностями против потока, обладающие свойством транспортивности, точнее, чем схемы с центральными разностями для первых производных именно в этом смысле, а не в смысле порядка ошибки аппроксимации.

Чтобы подчеркнуть значение свойства транспортивности в противоположность схеме с разностями против потока, рассмотрим схему с разностями по потоку или наветренные разностные схемы (Франкел [1956]). Такая схема неустойчива, но предполагается, что ее можно сделать устойчивой при помощи некоторого конечно-разностного представления производной по времени. С точки зрения точности представления только производных эта схема и схема с разностями против потока одинаково приемлемы. Однако в схеме с разностями по потоку возмущение будет переноситься за счет конвекции только вверх по потоку, а вовсе не в направлении скорости! Это физический абсурд), и стоит еще раз напомнить то, что было сказано относительно свойства консервативности: точность конечно-разностного представления производных не эквивалентна точности представления дифференциального уравнения.



М Ах

(3.199)

+ [ = /, + 2]

+...............+

+ [ = 2-2]

+ [i = /2] (3.200)

E = «Cl/, ,-«CU. (3.201)

Правая часть представляет собой вычисленную против потока разность двух величин, а именно потока, втекающего в об-

Роберте и Вейс [1966] называют схему Лелевье с разностями против потока «неадекватной», однако в подстрочном примечании признают: «Тем не менее эта односторонняя схема сохраняет знак положительно определенных величин, так же как и лагранжевы схемы; эйлеровы же схемы с центральными разностями не обладают таким свойством».

Интересно отметить, что в рассмотренной конечно-разностной схеме каждая узловая точка сетки аналогична конечному элементу в расчетах конечно-элементной модели реактора, иногда используемой инженерами-химиками (Кридер и Фосс [1966]). Поэтому, очевидно, оправдано представление этой схемы как схемы «моделирования».

3.1.10. Транспортивные и консервативные разностные схемы

Первая схема с разностями против потока (3.176) является консервативной, а также транспортивной до тех пор, пока составляющие скорости не меняют свой знак. Покажем для одномерного течения, когда все > О, что эта .схема обладает свойством консервативности. Проводя такие же выкладки, как в разд. 3.1.3, получаем



ласть R через ее границу 1\ за единицу времени, и потока, вытекающего из области R через ее границу h за единицу времени. Таким образом, свойство консервативности здесь имеет место.

Однако в области, где скорость меняет знак, направление разностей против потока также меняется, и тогда свойство консервативности утрачивается. Покажем это для одномерного случая при «, > О для г / и м, < О для i > /.

Применяя схему с разностями против потока, получаем

-дГ --"Ри < > О (3.202)

А? ut,\ ,,-и1\.

-Jf- АХ > "Де < (3-203)

тогда

<=/, 1=/, 1=г-и

+...........+

+ «С1г+2 - «С1г+з + +...............+

+ + „ (3.204)

Х; = «с - «S - «с I, + «с 1,+,. (3.205)

Первые два члена представляют собой вычисленную против потока разность потоков в единицу времени на двух границах области R\ третий и четвертый члены представляют собой ошибки, обусловленные неконсервативностью. Поскольку «г > О и ui+i < О, эти члены можно переписать как

-иа+ ut = - [ I м/1 С/ + I «/+11 (3.206)



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 [ 32 ] 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199