Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [ 31 ] 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

также несколькими преимуществами. В отличие от схемы, использующей разности вперед по времени и центральные разности по пространственным переменным, в схеме с разностями против потока на сеточное число Рейнольдса не накладывается ограничение, обусловленное требованиями устойчивости. В отличие от схемы «чехарда со средней точкой» (рассмотренной в предыдущем разделе) и некоторых других схем схема с разностями против потока не приводит к расчленению решения по временным шагам, а при расчетах требует на один массив меньше величин I,. В отличие от других схем, использующих центральные разности второго порядка по пространственным переменным, схема с разностями против потока не сохраняет фурье-ком-поненту Л = 2Дл; стационарной и не требует большего числа начальных и граничных условий, чем ставится для исходного дифференциального уравнения в частных производных.

Рассматриваемая схема обладает еще одним важным свойством, связанным с двумя последними пунктами, а именно свойством транспортивности. Три группы авторов с успехом использовали физическую особенность схемы с односторонними разностями. Для того чтобы избежать введения «пустых ячеек» и улучшить свойства устойчивости Джентри, Мартин и Дали [1966] применяют разности с донорными. ячейками в методе FLIC (метод жидкости в ячейках). Г1ри решении задачи о течении несжимаемой жидкости Томан и Шевчик [1966] «определяют величину вихря в граничных ячейках в соответствии с направлением составляющих скорости на соответствующей границе» и таким образом «пользуются средним вихрем для ячеек, из которых он переносится». Франкел [1956] говорит об «однонаправленном потоке информации». Все эти подходы тесно связаны с понятием «свойства транспортивности», которое мы теперь определим.

3.1.9. Свойство транспортивности

Будем говорить, что конечно-разностный аналог дифференциального уравнения, описывающего течение жидкости, обладает свойством транспортивности (Роуч и Мюллер [1970]), если возмущение, наложенное на какую-либо функцию, переносится за счет конвекции только в направлении скорости.

Это определение представляется безобидным и очевидным, но дело в том, что большинство схем не обладает этим свойством. Так, все схемы, в которых для представления конвективных членов используются центральные разности по пространственным переменным, не обладают этими свойствами.

Особое ударение делается на слова «переносится за счет конвекции». Физическое возмуи;ение вихря распространяется за



2Дл: •

Рассмотрим в точке т возмущение Zm == б, полагая во всех остальных точках е = О и « > 0. Тогда в точке m + 1, вниз по потоку от точки возмущения,

Xt----2Д = 1д7 (3.188)

что приемлемо. Но в точке, где наложено возмущение,

Д 2 Дх

= 0, (3.189)

а это уже неразумно. Еще более существенно, что в точке i = = m - 1, расположенной вверх по потоку от точки возмущения,

Si ---¥КГ~~1Ж- (З-У)

Таким образом, влияние возмущения проявляется вверх по потоку от точки возмущения, и, значит, свойство транспортивности нарущается. На следующем щаге по времени положительное возмущение появится в точке i = m - 2 и т. д.

Сравним полученный результат с результатом, который дает схема с разностями против потока при « > 0:

11+-11 ull-uiU

At Ах

(3.191)

Тогда при бт = б, как и ранее, в точке т + Ь расположенной вниз по потоку от точки возмущения, будем иметь

i% = -i , (3.192)

Д Дх Дх

счет диффузии во всех направлениях, но оно должно переноситься только в направлении скорости. Рассмотрим модельное уравнение, описывающее течение невязкой жидкости:

-W---- (3.186)

при помощи схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной (ВВЦП) одномерное уравнение (3.186) можно записать в следующей конечно-разностной форме:



Д/ Д.С Д.С

(3.193)

а это означает, что возмущение выносится из области, где оно было прилолено, как это и должно быть. (Очевидна связь между этим фактом и ранее отмеченным для схем с разностями против потока свойством нестационарности фурье-компоненты с Л = 2Ал;.) Наконец, в точке т~ \, расположенной вверх по потоку от точки возмущения, имеем

т-\~т~\ 0 - 0 /о 1Ач\

-й-= -дГ- = 0 (3.194)

и это указывает на то, что возмущение не переносится вверх по потоку. Таким образом, схема с разностями против потока обладает свойством транспортивности. Она обеспечивает «однонаправленный поток информации» (Франкел [1956]).

Однако выбор разностей против потока отнюдь не всегда гарантирует свойство транспортивности схемы. Рассмотрим двумерную задачу, используя необычную схему с разностями против потока, в которой потоки определяются пространственным осреднением по обоим направлениям. Простоты ради предположим, что составляющие скорости постоянны. Тогда для уравнения

-=-V.(VC) (3.195)

получаем

~1,1 „ ir ~ it

Эта конечно-разностная схема записана для положительных составляющих скорости; осредненные значения вихря определяются следующим образом:

£ и. / + 1 + 2£i, ; Ч-g;,

fei? - 4 .

t Sj-i. /-Ц + 2St-i, / + / 1 fez, - 4 •

£ Sj-l, / + 2Si, i -f j

fer - 4 •

£ il-l. f-l -ii, 1-1 + l+l, l-l 4-•

В этой схеме значение t/a в ячейке, расположенной вверх по потоку, определяется как среднее параболическое трех значений

(3.197)

что приемлемо. В точке же т, где наложено возмущение, получаем



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [ 31 ] 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199