Запорожец  Издания 

0 1 2 [ 3 ] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

быстродействующий метод, позволивший эффективно решать большие краевые задачи для уравнения Пуассона. После выхода этой работы прямые методы для уравнения Пуассона стали развиваться более интенсивно.

Описанные выше методы пригодны для расчета дозвуковых течений сжимаемой жидкости. Сверхзвуковые задачи отличаются от дозвуковых в нескольких важных аспектах, важнейшим из которых является возможность возникновения в сверхзвуковом течении ударных волн (т. е. разрывов в решениях).

Основополагающей работой для численного расчета гиперболических уравнений явилась статья Куранта, Фридрихса и Леви, опубликованная в 1928 г. Здесь обсуждались характеристические свойства уравнений и в общих чертах излагался известный метод характеристик. В этой работе было также получено и объяснено знаменитое необходимое условие устойчивости Куранта - Фридрихса - Леви, гласящее, что при расчетной сетке, не совпадающей с характеристической, область зависимости разностных уравнений должна по крайней мере включать в себя область зависимости дифференциальных уравнений. Это условие устойчивости КФЛ (которое в современной терминологии просто гласит, что число Куранта должно быть меньше единицы) справедливо для уравнений гидродинамики как в лагранжевых, так и в эйлеровых переменных.

Лагранжевы методы, в которых прослеживаются «частицы», были доведены до высокой степени совершенства в Лос-Аламосской лаборатории (Фромм [1961]). Вообще говоря, для двумерных задач эйлеровы методы предпочтительнее, однако при их использовании затрудняется расчет ударных волн. Если размер ячейки сетки не меньше, чем толщина ударной волны, то появляются осцилляции, снижающие точность. Эти осцилляции на дискретной сетке имеют физический смысл (Рнхтмайер [1957]). Кинетическая энергия, высвобождающаяся из-за потери скорости при переходе через ударную волну, превращается во внутреннюю энергию случайных соударений молекул; при расчетах роль молекул играют ячейки конечно-разностной сетки.

Наиболее обычным подходом к расчету ударных волн на эйлеровой сетке является «размазывание» скачка на несколько лчеек сетки путем явного или неявного введения искусственной вязкости, не оказывающей влияния на решение на некотором расстоянии от ударных волн. В 1950 г. фон Нейман и Рихтмайер предложили схему искусственной вязкости, в которой «коэффициент вязкости» был пропорционален квадрату градиента скорости. Ладфорд, Полячек и Зегер [1953] просто брали большие значения физической вязкости в уравнениях течения вязкой жидкости на лагранжевой сетке, однако в их методе требовались нереально высокие значения вязкости.



Для размазывания скачка вместо явного введения искусственной вязкости можно использовать и неявную вязкость, имеющую место в конечно-разностных аппроксимациях. Это было осуществлено в широко известном методе частиц в ячейках (методе PIC), разработанном в Лос-Аламосе Эванс, Харлоу и др.), а также в методе Лакса (Лаке [1954]) и в других методах.

В работе Лакса, опубликованной в 1954 г., сама численная схема гораздо менее важна, чем использованная форма дифференциальных уравнений - консервативная форма. Лаке показал, что преобразованием обычных уравнений гидродинамики, в которых зависимыми переменными являются скорость, плотность и температура, можно получить систему уравнений, в которой в качестве зависимых переменных служат количество движения, плотность и удельная внутренняя энергия торможения. Эта новая система уравнений отражает сущность физических законов сохранения и позволяет сохранять интегральные характеристики течения в конечно-разностной схеме. Такая система уравнений широко используется в настоящее время для расчета распространения ударных волн независимо от применяемых конечно-разностных схем, поскольку скорость плоской ударной волны точно рассчитывается любой устойчивой схемой (см. Лонгли [1960] и Гари [1964]).

Размазывание ударной волны при помощи неявной схемной вязкости осуществляется и в некоторых других методах. Так, в настоящее время широко применяется схема Лакса - Венд-роффа [1960] и ее двухшаговые варианты, например схема Рихт-майера (см. Рихтмайер [1963]). В методе PIC и в его модификации EIC (метод взрыва в ячейках), разработанной в 1964 г. Мадером, размазывание скачков достигается за счет введения конечного числа рассчитываемых частиц. Этот прием дает также возможность рассматривать поверхности раздела в жидкости (см. Харлоу и Уэлч [1965, 1966], а также Дали [1967]). В методе PIC, как и в более раннем методе Куранта - Изаксона - Риса [1952], используются односторонние разности для первых производных по пространству и таким образом вводится своего рода схемная вязкость (см. гл. 3), однако эти методы сохраняют истинные характеристические свойства дифференциальных уравнений. Хотя во всех этих методах неявно используются диссипа-тивные члены, размазывающие ударные волны, для обеспечения устойчивости каждого из них в некоторых частных случаях требуется введение дополнительных членов с явной искусственной вязкостью.

) См. Эванс и Харлоу [1957-1959], Харлоу с соавторами [1959], Эванс с соавторами [1962] и Харлоу [1963].



В противоположность подходу с размазыванием скачка на несколько расчетных ячеек можно, наоборот, выделять разрыв. Моретти, Аббетт и Блейх (Моретти п Аббетт [1966], Моретти и Блейх [1967]) проводили расчеты сверхзвуковых течений невязкого газа, выделяя ударные волны; этот подход стал очень популярен в начале семидесятых годов.

Прекрасное широкое обсуждение нелинейных численных методов можно найти в книгах Эймса [1965, 1969]. Для изучения математических аспектов численного исследования параболических и гиперболических систем, включая задачи, связанные с ударными волнами и диффузией нейтронов, можно рекомендовать книги Рихтмайера [1957], Рихтмайера и Мортона [1967]. Строгий математический курс Форсайта и Вазова [1960] рекомендуется для ознакомления с численными решениями эллиптических уравнений. В готовящейся к выходу в издательстве Academic Press книге Моретти можно будет найти детальное изложение метода выделения скачков.

1.3. Существование и единственность решений

Математические проблемы существования и единственности решений уравнений в частных производных, описывающих течения жидкости, далеки от своего завершения как для самих дифференциальных уравнений, так и для их конечно-разностных аналогов. В 1961 г. появилась монография Ладыженской, посвя щенная этим проблемам для стационарного течения вязкой не сжимаемой жидкости; изложение существа ее работы дано Эйм сом [1965]. Основываясь на сравнении задачи о течении несжи маемой жидкости, описываемом уравнениями Навье - Стокса с другими задачами, Эймс (с. 480) предполагает, что един ственное стационарное решение существует только ниже неко торого неизвестного предельного значения числа Рейнольдса выше этого значения в некотором интервале чисел Re существует несколько решений и, наконец, выше некоторого другого, также неизвестного, значения числа Рейнольдса решений вообще не существует. (Однако Эймс также задается правомерным вопросом, справедливы ли сами стационарные уравнения Навье- Стокса для чисел Рейнольдса, превышающих некоторое значение, при котором возникает турбулентность.) При конечно-разностном решении этой задачи положение может еще более усложняться из-за неясности граничных условий.

Для задачи о течении сжимаемой жидкости, описываемом чисто гиперболическими уравнениями (сверхзвуковое течение), существование решения для предельного невязкого случая легко доказывается. Фой [1964] показал, что если для невязкого газа тва произвольных состояния могут быть связаны достаточно



0 1 2 [ 3 ] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199