Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 [ 28 ] 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

Несмотря на то что здесь в правую часть входят значения на (п + слое, эти значения относятся к точке i. Следовательно, уравнение (3.166) можно явно разрешить относительно +:

Г=---2-• (3-167)

При помощи метода фон Неймана для анализа устойчивости можно убедиться в том, что единственным условием устойчивости для уравнения (3.167) является условие С 1, как в случае невязкой жидкости. В многомерном случае при больших Re возможно ослабление этого условия более чем на 50% (см. Шуман [1975]).

Эта схема обладает интересным свойством. Если функции, входящие в уравнение (3.167), разложить в ряды Тейлора (как в разд. 3.1.5. в), то получится уравнение гиперболического типа:

2 д1 , а? , а? дК ,о ,ооч

Ш + 1Г--"-эГ + °- (3-168)

Устойчивость схемы Дюфорта - Франкела «можно считать обусловленной наличием гиперболического члена в уравнении дифференциального приближения» (Дюфорт и Франкел [1953]). Таким образом, конечно-разностное уравнение (3.167) аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение (т. е. при АхО, А-0 стремится к модельному уравнению (2.18), содержащему конвективный и диффузионный члены) только в том случае, когда Ax->-0, А/О так, что А/Ах->-0. Если же Ах-0, А->-0, но At/Ax фО, то конечно-разностное уравнение (3.167) будет аппроксимировать уравнение (3.168) гиперболического типа.

На практике характер стремления Ах->-0 и А->-0 не выбирается и понятие аппроксимации становится нечетким. Но уравнение (3.168) дает практическое руководство для расчетов. Если сходимость нестационарного решения проверяется (как это обычно делается на практике для обыкновенных дифференциальных уравнений) численно путем пересчета решения с вдвое меньшим шагом Ах, то А следует уменьшать более чем в 4 раза (Рихтмайер [1957]). Если к тому же перенести вторую производную по времени в правую часть уравнения (3.168), то получится

4 = -"l7 + °-J+f х\а{Ы/АхП (3.169)

Отсюда видно, что рассматриваемая схема имеет второй порядок точности только в том случае, когда а(А/Ах)2 мало. Действительно, для первого порядка точности по времени получаем



) В применении к уравнению теплопроводности это свойство связано со вторым законом термодинамики. Температура замкнутого объема вещества, определяемая только диффузией, не может превышать своего наибольшего начального значения и своего наибольшего значения на границе объема.

условие 0[а.{М/Ах)Ц = 0(М), или аМ/Ах = О{{). Это совпадает с условием устойчивости (3.72) d /г для простой схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным (ВВЦП), имеющей первый порядок точности по времени.

Мы уже указывали выше, что конечно-разностные аналоги могут воспроизводить некоторые свойства дифференциальных уравнений даже без перехода к пределу при АхО, AtO. Таковыми свойствами являются свойство независимости порядка дифференцирования bf/bxby = bf/bybx, свойство консервативности, равенство единице множителя перехода для схемы «чехарда» и свойство транспортивности, которое будет кратко рассмотрено ниже. Уравнение диффузии, рассмотренное выше, обладает свойством ограниченности, которое заключается в том, что t,{x,t) никогда не превосходит максимальных значений начальных и граничных условий), поставленных для уравнения dt,/dt = ад/дх". Это справедливо и для конечно-разностной схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной при условии, что расчет устойчив. (Как указывалось в разд. 3.1.5. а, это свойство можно вывести из условия отсутствия осцилляции, обусловленных чрезмерно большим шагом по времени.) Гордон [1968] показал, что схема Дюфорта - Франкела не отражает такого поведения из-за наличия членов порядка О {At, Ах) и это является ее дополнительным недостатком.

Тейлор [1970] показал, что граничные условия типа Неймана (задание величины градиента ) могут привести к неустойчивости численного решения уравнения диффузии по схеме Дюфорта - Франкела, если представление разностей в граничных точках плохо согласовано со схемой расчета во внутренних точках. По-видимому, такое согласование не столь важно для течений с большими Re, но существенно для течений с малыми Re и в задачах диффузии. Аллен [1968] столкнулся с некоторыми трудностями решения у границы при применении этой схемы к уравнениям, описывающим течения сжимаемой жидкости.

Несмотря на то что схема Дюфорта - Франкела обладает некоторыми недостатками, она имеет те преимущества, что является явной и абсолютно устойчивой. В практических расчетах с фиксированными Ах и малым а, как отмечено выше, разностное уравнение может иметь «второй порядок» точности в смысле малости величины ошибок, а не в смысле действительного по-



рядка точности. Пирсон [1965а, б] показал, что в некоторых практических расчетах схема Дюфорта - Франкела является более точной, чем схема с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной (см. также Фромм [1964]).

Конечно-разностное представление Дюфорта - Франкела, рассмотренное для диффузионных членов, можно использовать и в сочетании с другими трехслойными схемами для конвективных членов, но при этом каждый раз необходимо исследовать устойчивость полного уравнения. Единственной другой одношаговой явной абсолютно устойчивой схемой для уравнения диффузии является одна из схем Саульева (Саульев [1964], Рихтмайер и Мортон [1967], Карнахан и др. [1969]; см. также разд. 3.1.17). Как показывает неопубликованное исследование автора, этот подход оказался неприменимым к полному уравнению, включающему конвективный и диффузионный члены. При применении любой из этих схем к конвективным членам для любого числа Куранта С > О получается то же ограничение на шаг по времени, которое определяется диффузионным членом для простой схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной. Кроме того, схема Саульева в действительности оказывается неявной по граничным условиям, которые требуют особого рассмотрения при гидродинамических расчетах.

Поучительно рассмотреть двухслойную схему, аналогичную схеме Дюфорта - Франкела. Аллен [1968] заметил коварную ловушку, имеющуюся при этом подходе. Рассматривая схему с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной (ВВЦП) для уравнения диффузии

= (3.170)

заменим, как и в схеме Дюфорта - Франкела, значение в средней точке Щ в диффузионном члене на +; это даст

-а д;,2 • (3.171)

Отсюда можно в явном виде найти значение 1,1. Метод фон Неймана исследования устойчивости показывает, что (как и можно надеяться) такая схема абсолютно устойчива. Но после простых алгебраических преобразований эту схему можно переписать так:

(3.172,



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 [ 28 ] 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199