Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 [ 24 ] 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

и показать, что условие

dx + dy + d42 (3.142)

является необходимым и достаточным для устойчивости. В частном случае, когда dx - dy = dz = d, условие (3.142) имеет вид

rf<Ve (3.143)

и оказывается втрое жестче, чем в одномерном случае.

3.1.6. Одношаговые явные схемы; схема «чехарда со средней точкой»

Рассмотренная для линейного модельного уравнения грубая схема ВВЦП, использующая разности вперед по времени и центральные разности по пространственным переменным, является одношаговой явной двухслойной по времени схемой. Она называется одношаговой, так как для перехода к новому слою по времени требуется только один вычислительный шаг. Эта схема называется явной, так как все значения в правой части (3.44в), необходимые для вычисления + на новом слое по времени, известны, т. е. значения l,f+\ не входят в правую часть уравнения). Она является двухслойной по времени), так как для вычислений здесь привлекаются только два слоя по времени; новые значения на слое п -\- 1 вычисляются только по значениям на слое п.

Уравнение (3.17) соответствует схеме с центральными разностями по пространственным переменным и по времени, которая, как уже было отмечено, безусловно неустойчива при любых а > О и > 0. Но при применении только к конвективным членам (т. е. при а = 0) эта схема, называемая схемой со средней точкой (Лилли [1965]) или схемой «чехарда со средней точкой» или - чаще всего - просто «чехарда» (Курант, Фридрихе, Леви [1928]), обладает нужными свойствами устойчивости. Таким образом, уравнение

1=- (3.144)

по этой схеме представляется в виде

2Д/ 2Ал; • (ci.l40;

Данная схема имеет второй порядок точности по пространству и по времени; это одношаговая явная трехслойная по вре-

•) Схемы, в которых в правую часть уравнения входят значения и t,1l\, называются неявными, и при этом для вычисления значений иа новом временном слое, вообще говоря, требуется обращение матрицы.

2) Схемы, которые в этой книге именуются однослойными, некоторые авторы называют однощаговыми.



мени схема. Значит, для вычисления новых значений на слое п + 1 в этой схеме необходимы значения на слоях п и п - 1. Заметим, что новые t, на четном временном слое вычисляются как значения на предыдущем четном временном слое плюс некоторое приращение, а предыдущий нечетный временной слой при этом «перепрыгивается» (отсюда и название схемы - «чехарда»).

Метод фон Неймана исследования устойчивости для этой и других многослойных схем применяется следующим образом. Используя те же определения и предположения, что и в предыдущих примерах, уравнение (3.145) можно записать в следующем виде:

?Г = ?Г-С (3.146)

где С -и At/Ах -число Куранта. Подставляя сюда фурье-ком-поненты, получаем связь для амплитуд

а = -2/С sine.

(3.147) (3.148)

Чтобы получить матричное уравнение, добавим к (3.147) тождество

Г= 1 . у«-)-0. У"-. (3.149)

Рассматривая это уравнение совместно с уравнением (3.147), получаем

(3.150)

- уП + 1-

.V .

где множитель перехода О теперь представляет собой матрицу

а 1 1 О

(3.151)

Для изученной ранее однослойной схемы множитель перехода О был просто числом, а условие устойчивости имело вид G 1. В данном случае, когда G представляет собой матрицу, условие устойчивости (согласно фон Нейману) имеет следующий вид:

Я<1,

(3.152)



1 0-Я

0. (3.153)

Когда G представляет собой просто число, как в предыдущих римерах, оно рассматривается как одномерная матрица. Тогда равнение для определения собственного значения принимает пя G - k = 0 или 7=0, поэтому условие (3.152) сведется

V предыдущему условию (3.102), а именно G] 1.) Раскрывая пределитель и решая полученное квадратное уравнение для Я,

находим два решения:

Я± = у[а± VM]. (3.154)

Учитывая, что а =-2/С sin В и а = -4CsinB, имеем

я± = -/с sine± VI -csine. (3.155)

В тех случаях, когда С sin 9 > 1, квадратное подкоренное выражение будет отрицательным, и тогда

Я± = /[-С sin е± л/СТПтё]. (3.156)

При этом абсолютная величина \К\> 1, что означает неустойчивость. В том же случае, когда CsinO 1, для чего, вообще говоря, требуется выполнение условия

С<1, (3.157)

для абсолютной величины К получаем

U±p = C2sin2e4-(l -Csine), (3.158)

Я±=1 при С<1. (3.159)

Это, очевидно, удовлетворяет условию устойчивости (3.152) в предельном случае равенства. Аналогичный результат получается также при двух пространственных переменных, но здесь для устойчивости требуется выполнение неравенства Сх + Су1.

) Часто для удобства это условие формулируется так: для устойчивости схемы спектральный радиус матрицы G не должен превышать единицы, т. е. р(0) 1, где p(G) = max Яр, а Яр есть р-е собственное значение G. Спектральный радиус, очевидно, есть радиус круга в комплексной плоскости, центр- которого находится в точке (0,0) и внутри которого лежат все собственные значения.

де % - все возможные собственные значения матрицы G). .Собственное значение К матрицы определяется как корень характеристического уравнения, которое получается приравниванием нулю определителя матрицы, у которого из каждого диагонального элемента вычитается К.) Таким образом, характеристическое уравнение для определения матрицы G записывается так:

а-Х 1



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 [ 24 ] 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199