Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [ 23 ] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

рассматриваться. Этот метод можно использовать для исследования влияния на устойчивость некоторых граничных условий (Кемпбелл и Кист [1968], П. Дж. Тейлор [1968]).

Анализ устойчивости при помощи метода дискретных возмущений менее надежен. По сравнению с систематичным и формализованным методом фон Неймана успех применения этого метода является делом удачи. Для схемы с разностями против потока он приводит к тому же результату, что и метод фон Неймана (см. последние три упражнения). Дополнительное требование об отсутствии осцилляции, обусловленных чрезмерно большим шагом по времени (которое, впрочем, не является очевидным требованием устойчивости в смысле ограниченности решения), также приводит в этом методе к результатам, совпадающим с результатами метода фон Неймана для схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной, но при существенно меньших затратах труда. Однако совсем не очевидно, что этот критерий дает правильные результаты для более сложных схем, поэтому в настоящее время его применимость в общем случае находится под вопросом. Тем не менее с помощью метода дискретных возмущений можно исследовать устойчивость в граничных и во внутренних точках в тех случаях, когда метод фон Неймана оказывается непригодным.

После выхода в свет работы Уорминга и Хьетта [1974] метод Хёрта стал столь же формален, как и метод фон Неймана. Он обычно с успехом при.меняется для определения условий устойчивости простых конечно-разностных уравнений (требуя в некоторых случаях меньшего числа алгебраических операций, чем метод фон Неймана). Этот метод был аккуратно распространен на случай исследования устойчивости нелинейных уравнений с переменными коэффициентами (Хёрт [1968]), что не так легко сделать с помощью метода фон Неймана.

Итак, все три рассмотренных метода анализа устойчивости дают полезную информацию. По-прежнему наиболее широко используется метод фон Неймана, но модифицированный метод Уорминга и Хьетта оказывается даже более полезным. Однако ни один из этих методов не является полностью адекватным. Если целью является получение численных решений, а не просто анализ численных методов самих по себе, то необходимо обращаться к численному эксперименту, имея в виду, что все или почти все методы исследования устойчивости являются ключом к выяснению практической устойчивости.

Тем не менее полезность рассмотренных методов не ограничивается определением условий устойчивости. Метод дискретных возмущений обладает тем преимуществом, что в нем внимание концент-рируется на дискретных конкретных фактически



Ax "f" At/2

(3.129)

Теперь запишем каждую фурье-компоненту решения в виде

t,l, = ехр [/ {kj Ах + kj Ai/)], (3.130)

где У" снова является амплитудой на временном слое п частной фурье-компоненты, имеющей в направлениях х я у волновые числа kx и ky (длины волн Кх = 2я/кх и Ау - 2n/ky), а /=д/-1. Вводя фазовые углыб; = kxAx и 0;, = куАу для координат X я у, запишем выражение (3.130) как

Си =Vexp[I {id,+ ]%)-}; (3.131)

аналогично

С, /+. = l""" ехр {/ [{i + 1) 6, -f (/• + 1) ej ) (3.132)

Проводимых расчетах, а не на каких-либо абстракциях. Это дает возможность использовать данный метод при постановке и анализе граничных условий и при определении свойства транспор-тивности (см. разд. 3.1.9). Метод фон Неймана дает информацию не только о затухании возмущений (т, е. об устойчивости), но и о фазовых соотношениях для конечно-разностных уравнений и о получающихся дисперсионных ошибках (см. разд. 3.1.13). Метод Хёрта также дает информацию о дисперсионных ошибках и о поведении конечно-разностных уравнений, связанном с эффектом «искусственной вязкости». Таким образом, все три рассмотренных метода исследования устойчивости находят свое применение и будут использоваться в следующих разделах этой книги.

3.1.5. д. Метод фон Неймана для многомерных задач

Метод дискретных возмущений (Томан и Шевчик [1966]) и метод Хёрта (Хёрт [1968]) могут быть распространены на случай исследования устойчивости в многомерных задачах. Мы же в качестве примера приведем здесь более простое обобщение метода Неймана на такой случай. Используя схему с разностями вперед по времени и с центральными разностями по пространственной переменной для линеаризованного уравнения переноса вихря (2.12) с постоянными коэффициентами в плоском случае (когда а = 1/Re), получаем

Д< " " 2 Ax " 2 At/



и т. д. Соответствующие двумерные аналоги числа Куранта С определяются как Сх = иМ/Ах и Су = vAt/Ay, а соответствующие аналоги величины d как dx = аА(/Ах и dy = aAt/Ay. Подставляя эти величины в выражение (3.130), сокращая на общий множитель ехр[1 {iQx + jQy)] и используя формулы Эйлера, снова получаем = GV, где

G==\-2{d, + dy) + 2d,cosQ,+

+ 2dy cos Qy - I {C sin 9 -f Qy sin 9). (3.133)

Очевидные необходимые условия выполнения неравенства 1 GI < 1 будут

dx + dy<42 (3.134)

C-fC<l. (3.135)

В частном случае dx = dy = d неравенство (3.134) принимает вид

d<V4. (3.136)

Это условие вдвое сильнее ограничения, полученного для одномерного уравнения с одним только диффузионным членом. В частном случае Сх~Су - С неравенство (3.135) принимает вид

С< 72 (3.137)

и снова оказывается вдвое сильнее соответствующего необходимого условия в одномерном случае. Фромм [1964] показал, что для частного случая Ах = Ау = А и вх = Qy ограничение на сеточное число Рейнольдса Rec = («-f f )А/а дается неравенством

Re<4, (3.138)

которое является менее жестким, чем в одномерном случае.

Упражнение. Применить метод Неймана для исследования устойчивости схемы с разностями против потока для уравнения переноса в случае нулевой вязкости

lu-.lLlI-.lLL, „>о. .>о. (3.139)

Показать, что условие устойчивости имеет вид

Сх+Су1. (3.140)

Упражнение. Применить метод Неймана к схеме с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным для трехмерного уравнения диффузии



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [ 23 ] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199