Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [ 22 ] 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

некой присущей ему неопределенностью. Другой концепцией численной неустойчивости является неустойчивость в смысле Адамара (см., например, Вейнбергер [1965]), т. е. чувствительность решения к начальным данным в задаче с начальными условиями. Один метод для экспериментальной проверки этого типа неустойчивости был предложен Миллером [1967]. Чен [1970] анализирует устойчивость подобно Хёрту, но только в пределе при АхО, АО, связанных некоторой заданной зависимостью.

Таким образом, видно, что понятие устойчивости не определяется универсально даже для линейных систем. Франкел [1956] избегал попыток дать точное определение устойчивости. Рихтмайер [1963] показал, что понятие устойчивости зависит от выбора нормы в функциональном пространстве зависимого переменного и что использование анализа Фурье, как в методе фон Неймана, предполагает использование La или среднеквадратичной нормы, которая отчасти произвольна. Для ознакомления с иными определениями устойчивости читатель может обратиться к книге Рихтмайера и Мортона (1967, с. 104].

Понятие устойчивости непосредственно связано с понятиями аппроксимации и сходимости). Конечно-разностный аналог аппроксимирует дифференциальное уравнение, если при Ах О, АО конечно-разностное уравнение стремится к дифференциальному уравнению в частных производных. Хотя при выводе конечно-разностных уравнений при помощи разложений в ряды Тейлора может показаться, что это положение выполняется автоматически, на самом деле это не так; здесь могут потребоваться иные ограничения для относительной скорости сходимости при уменьшении Ах и М (см. разд. 3.1.7). Конечно-разностное уравнение сходится, если при Ах->0, АО решение конечно-разностного уравнения стремится к решению дифференциального уравнения в частных производных. Два очевидных необходимых условия такой сходимости состоят в том, что конечно-разностное уравнение устойчиво (в некотором смысле) и аппроксимирует соответствующее дифференциальное уравнение.

Для линейных систем, таких, как рассмотренное нами модельное уравнение с постоянными коэффициентами, теорема эквивалентности Лакса (Лаке и Рихтмайер [1956]) устанавливает эквивалентность устойчивости и сходимости 2) при выпол-

) Под сходимостью здесь подразумевается сходимость в смысле убывания ошибки аппроксимации. Обсуждение сходимости итерационных процессов можно найти в разд. 3.4.

2) Первая формулировка теоремы эквивалентности была дана В. С. Рябеньким (ДАН СССР, т. 86, № 6, 1952). Затем эта теорема была сформулирована при различных подходах Лаксом, Рнхтмайером, А. Ф. Филипповым - Прим. ред.



нении следующих условий: задача с начальными данными должна быть корректно поставлена в смысле Адамара (Вейнбергер [1965]), т. е. решение дифференциального уравнения в частных производных должно непрерывно зависеть от начальных данных; конечно-разностное уравнение должно аппроксимировать дифференциальное уравнение в частных производных; устойчивость должна быть определена в норме L2 (как в методе фон Неймана). При выполнении этих требований необходимое условие устойчивости фон Неймана становится и достаточным. Ф. Джон [1952] показал, что несколько усиленная форма условия фон Неймана является достаточной для устойчивости линейных параболических уравнений даже в случае переменных коэффициентов. Лаке (см. Лаке и Рихтмайер [1956]) получил аналогичный результат для гиперболических уравнений с переменными коэффициентами.

Теорема эквивалентности Лакса, безусловно, является важной, но, к сожалению, ее значимость слишком переоценивается. В частности, некоторые авторы заключение о сходимости нелинейных конечно-разностных уравнений (отчаявшись, по-видимому, доказать ее иначе) основывают на теореме эквивалентности Лакса для линейных систем. Несмотря на то что изучение линейных систем полезно для понимания поведения нелинейных систем, очевидно, что теорему эквивалентности Лакса нельзя непосредственно применять к нелинейным уравнениям. Один факт возможной неединственности решений нелинейных уравнений, рассмотренный в гл. 1, должен был бы предостеречь от такого неправильного использования этой теоремы. Применение теоремы Лакса некорректно даже для линейных систем, если устойчивость определяется не в норме L2.

Точный критерий устойчивости в действительности не требуется с математической точки зрения. При исследовании нелинейных уравнений Хикс [1969] предлагает миновать вопросы, связанные с критериями устойчивости, и переходить непосредственно к сути дела, а именно к обеспечению сходимости разностного решения (Лаке и Рихтмайер [1956]). Главное состоит в том, что решение конечно-разностного уравнения должно сходиться к решению дифференциального уравнения в частных производных, а определение устойчивости представляет уже вторичный интерес. В свете сказанного теорема эквивалентности Лакса может применяться для непосредственного исследования сходимости при условии, что устойчивость определена таким образом, что оба эти понятия являются эквивалентными.

Ни один из рассмотренных критериев и методов анализа устойчивости не является адекватным для проведения практических расчетов. В действительности в задачах гидродинамики ограничения, связанные с устойчивостью, применяются локаль-



) При этом может оказаться, что границы устойчивости матрицы перехода нужно будет определять численно.

НО. Расчетные точки сетки просматриваются одна за другой, чтобы установить, где имеют место наиболее жесткие ограничения, накладываемые критериями устойчивости, а затем из всех максимально допустимых в каждой точке выбирается наименьший шаг М и он принимается для всех точек сетки. На практике аолученное таким образом допустимое значение максимального пага по времени обычно берут с коэффициентом запаса 0.8 -т-~ 0.9. На ранней стадии расчета, когда градиенты по времени велики, может потребоваться уменьшение этого коэффициента (см., например, Торранс [1968]).

Недостатки такого подхода очевидны. Многие авторы (Филлипс [1959], Рихтмайер [1963], Хёрт [1968], Гурли и Моррис [1968а]) описывают неустойчивость, обусловленную нелинейностью или по крайней мере переменностью коэффициентов уравнений. Другие авторы (Лилли [1965]) сообщают о явлении расчленения решения по временным шагам (см. разд. 3.1.6), которое хотя и не представляет собой неустойчивости в смысле получения неограниченных решений, но является неустойчивостью в практическом смысле отсутствия сходимости итераций. Важно понимать, что может оказаться невозможным провести границу между тем, что называется «настоящей» неустойчивостью и очень малой скоростью сходимости решения.

В действительности исследование строгих определений аппроксимации, сходимости и устойчивости при ДхО и ДО - занятие зачастую бесплодное, так как реальные расчеты проводятся при конечных Дх и Д. (Изредка такое исследование может привести к практически полезной путеводной нити, как, например, в случае требования аппроксимации в схеме Дю-форта - Франкела; см. разд. 3.1.7.)

Можно дать следующую окончательную оценку трех описанных в предыдущих разделах методов исследования устойчивости. Обычно используемый метод фон Неймана, вообще говоря, самый простой, самый прямой и самый надежный. Важной его чертой является возможность непосредственного формального распространения на многомерные задачи (см. следующий раздел). Для более сложных конечно-разностных уравнений разрешение неравенства G1 (или неравенства для собственных значений, разд. 3.1.6) может оказаться затруднительным). Кроме того, наименьшие рассматриваемые здесь возмущения представляют собой периодические возмущения с длиной волны К = 2Дх, точечные же возмущения не могут



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 [ 22 ] 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199