Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [ 20 ] 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

) Задача нахождения собственных значений является нетривиальной для сложных схем и для систем уравнений, которые описывают течения сжимаемой жидкости Задача отыскания собственных значений сама по себе может решаться численно (см также Уолден [\967] и Учстлейк [1968]).

) Идея применения первого дифференциального приближения для исследования устойчивости разностных уравнений была предложена А И Жуковым еще в пятидесятых годах (см Годунов С. К, Рябенький В С Разностные схемы -М: Наука, 1973) Современная теория дифференциальных приближений основана на работах Н Н Яненко и Ю И Шокина Обзор и некоторые новые результаты по анализу устойчивости схем при помощи метода дифференциальных приближений содержатся в следующей работе-Давыдов Ю М, Скотников В П Дифференциальные приближения разностных схем - М изд ВЦ АН СССР, 1978 - Прим ред

) Хорошо, если с помощью такого разложения получаются дифференциальные уравнения с известными свойствами устойчивости В противном случае можно пытаться определить устойчивость полученных дифференциальных уравнений при помощи какого-либо численного метода, обязательно исследуя его устойчивость и т д

(3.101), становится матричным уравнением. Для устойчивости при этом требуется, чтобы 1, где - все собственные

значения) матрицы G Когда G - просто число, это условие эквивалентно условию (3.102). Пример такого случая будет приведен в разд. 3.1.6.

Помимо сведений об устойчивости анализ по фон Нейману дает также информацию о дисперсионных ошибках, которые будут рассмотрены в разд. 3.1.14.

Упражнение Повторить предыдущее упражнение для схемы с разностями против потока и найти условие устойчивости, используя на этот раз анализ по фон Нейману.

3.1 б. в. Анализ устойчивости по Хёрту

Третий метод анализа устойчивости был предложен Хёртом [1968] ). В этом методе члены, входящие в конечно-разностные уравнения, раскладываются в ряды Тейлора для того, чтобы получить дифференциальное уравнение в частных производных. Устойчивость затем определяется из известных свойств устойчивости дифференциальных уравнений ). (Аналогичный подход к изучению конечно-разностных уравнений при помощи полученных таким образом дифференциальных уравнений был использован в работе Сайруса и Фалтона [1967] для исследования не устойчивости, а точности конечно-разностных методов, применяемых для эллиптических уравнений.)

Рассмотрим опять схему (3.18) с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной для модельного уравнения, включающего конвективный и диффузионный члены, предполагая, что и постоянно:

--= -«1,-2Д-) +--). (3.114)



Разложим каждый член уравнения (3.114) в ряды Тейлора в окрестности точки {х, t), т. е. относительно тогда

+0(Д/3), (3.115)

дР дК

2 <Эл:2

±0(ДхЗ). (3.116)

Подставляя эти разложения в (3.114) и приводя подобные члены, получаем

2 dt

+ О (А/3)

+ О {Ах)\ + [Лх-- , + О М

2 Ах

или, опуская индексы i и п,

(3.117)

Ж-Г -(3.118)

При At->0 и Ах->0 это уравнение переходит в исходное дифференциальное уравнение в частных производных (2.18). Но при А > О уравнение (3.118) принимает вид

Д< дК д% , \ di , и di 2 jjg

" i, j Liit I if

2a ал:2 a a дл:

Это уравнение, полученное сохранением всех членов первого порядка в разложениях ряда Тейлора, является гиперболическим

Область / S/гияния


HaMOH=-bLt/la.

"ШОНAt/Ax

Рис. 3.9. Область влияния точки {x,t) для уравнения (3.118) гиперболического типа, а ~ область влияния для дифференциального уравнения; б ~ область влияния для конечноразностного уравнения.

(см., например, Вейнбергер [1965]). Как показано на рис. 3.9, а, для таких уравнений существует область влияния произвольной точки {x,t), ограниченная проходящими через эту точку и имеющими наклон ± д/А/(2а) характеристиками. Возмущения, возникающие в точке {x,t), проявляются только внутри этой области. Часть плоскости {x,t), расположенную вне этой области, иногда называют зоной молчания.

Для конечно-разностного уравнения (3.114) также существует область влияния. Каждое новое рассчитанное значение



+ зависит от значений t,} в соседних точках /±1 в предыдущий момент времени. Иначе говоря, каждое значение Щ оказывает влияние на значения в соседних точках на

следующем слое по времени. Это влияние в свою очередь распространяется на значения и т. д. Таким образом, область влияния дискретизированного уравнения (3.118) ограничивается конечно-разностными «характеристическими линиями» с наклоном At/Ах (см. рис. 3.9,6). Условие Куранта (Курант, Фридрихе и Леви [1928]) устойчивости конечно-разностного аналога таких гиперболических уравнений требует, чтобы область влияния конечно-разностного уравнения по крайней мере включала в себя область влияния дифференциального уравнения). Из рис. 3.9 видно, что это накладывает условие AtlAx\/Al/{2a), или

A/<Y. (3.120)

Но это ограничение на в точности совпадает с ограничением, обусловленным диффузионным членом в уравнении и полученным ранее из анализа устойчивости как при помощи метода дискретных возмущений, так и при помощи метода фон Неймана.

Чтобы определить другое необходимое условие устойчивости, вычислим член d%/dt в уравнении (3.119), дифференцируя исходное дифференциальное уравнение2) с учетом предположения и - const:

Меняя порядок дифференцирования и подставляя dl,/dt из исходного дифференциального уравнения в частных производных,

) Здесь уместно привести пример уравнения распространения звуковых волн. Условие Куранта просто означает, что для устойчивости расчета звуковая волна за один шаг по времени не должна проходить расстояние, большее размера одной пространственной ячейки.

2) Возможен и другой путь получения приведенного ниже уравнения при помощи разложения членов в уравнении (3.114) как функций двух независимых переменных в ряды Тейлора в окрестности точки (х,, <„+i;)) т.е. относительно S". В работах Хёрта такое разложение приводит к уравнению (3.124), которое получается не в результате дифференцирования исходного дифференциального уравнения (3.121), а из уравнения (3.118) Анализ такого же типа можно найти в статье Уорминга и Хьетта [1974]. где показано, что в случае постоянных коэффициентов и периодических граничных условий такой подход эквивалентен методу фон Неймана. Использование описанного выше способа нахождения l,tt из уравнения (3.121) приводит к ошибкам в коэффициентах при производных более высокого порядка.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [ 20 ] 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199