Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [ 19 ] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

Если ввести фазовый угол 9 = kAx, то (3.94) примет вид

Аналогично,

(3.95)

;;; = у+е(3.96)

Подставляя в уравнение (3.93) выражения (3.95) и (3.96), получаем

y"+i/9 yV4d[V<+>4 FV"-"-2KVU (3.97) или, после деления на общий множитель е,

y"+ = y"[l+d(/ + e--2)]. Используем толедество

(3.98) (3.99)

(3.100) (3.101)

Заметим, что G = G(9), т. е. в этом случае множители перехода для различных фурье-компонент различны.

Равенство (3.100) ясно показывает, что для того, чтобы решение оставалось ограниченным, для всех 9 должно выполняться условие

IGK1. (3.102)

Это условие является критерием устойчивости для уравнения (3.93) с диффузионным членом.

Из (3.101) и (3.102) получаем условия

ев + е-е = 2соз9 и определим множитель перехода G равенством

Из (3.98) для G имеем

G= 1 -2d(l -cos9).

-1<1 -2d(l -cos9)<l.

(3.103)

которые должны выполняться для всех возможных 9, т. е. всех возможных фурье-кемпонент. Правое неравенство выполняется для всех 9. Левое неравенство становится критическим при тах(1 - cos 9) = 2, что накладывает на d условие устойчивости d sC /г или

А/< ? а

(3.104)

Это условие совпадает с критерием (3.73), полученным при HQ--М0Ш,и метода дискретных возмущений.



Теперь рассмотрим схему с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной для уравнения (3.18), включающего конвективный и диффузионный члены; это даст

Подставляя (3.95) и (3.96) и сокращая на е снова получаем (3.100), но с множителем перехода G, имеющим вид

G = 1 - - (ев - е-") а (g/e -в 2). (3.106)

Используя тождество (3.99) и тождество

е"-е-" = 2/sin 8, (3.107)

получаем

G = l-2d(l-cose)-/Csine. (3.108)

В отличие от предыдущего случая уравнение, включающее конвективный и диффузионный члены, приводит к комплексному множителю перехода (3.108). Этот комплексный множитель G сводится к действительному множителю G, определенному равенством (3.100), при С->0, т. е. когда уравнение,


Real


Real

Рис. 3.8. Годограф множителя перехода G, записанного в виде (3.110). При С < 1, rf < Vz И < 2d эллипс лежит внутри единичного круга, что соответствует устойчивости.

включающее конвективный и диффузионный члены, сводится к уравнению, содержащему только диффузионный член.

Условие устойчивости в рассматриваемом случае имеет вид

G<1, (3.109)

где теперь G-модуль комплексного множителя перехода G, годограф которого построен на рис. 3.8. Уравнение (3.108) мож-



) Эти методы элементарны, но выкладки несколько громоздки. Результаты для двумерного случая, приведенные Фроммом [1964] и в первом английском издании настоящей книги, были неверны в том отношении, что в качестве необходимого условия накладывалось ограничение на сеточное число Рейнольдса; см по этому поводу разд. 3.3.8.

2) Это ограничение может быть получено также из условия, что кривизна \dyjdx\ эллипса 0(6) в точке (1,0) должна быть больше кривизны единичной окружности (У. Д. Сандберг, личное сообщение).

но переписать в виде

G= 1-2rf + 2rfcos0-/Csine, (3.110)

Что соответствует уравнению эллипса с центром в точке 1 - 2d на действительной оси и с полуосями С и 2d. Устойчивость (jG 1) имеет место в том случае, когда этот эллипс целиком лежит внутри единичного круга.

Для устойчивости, очевидно, необходимо, чтобы С 1 и d /г- Более общее условие можно найти, используя для модуля G следующее выражение:

Gp = GG = [l -f 2rf(cose- 1)]2 + С2(1 -cos2e) (3.111)

(здесь через G обозначена величина, комплексно-сопряженная G).

Используя элементарные методы определения максимума G2 в зависимости от cos9, можно убедиться) в том, что при

C2<2d (3.112)

внутри интервала - l<cos9<l максимума G не существует. Этот максимум достигается при cos9 = -1 и просто дает условие d /2, которое было получено для уравнения с одним диффузионным членом. При Re > 2 максимум имеет место в интервале -1 < cos б < 1 и всегда \0 > 1. Следовательно, двойное неравенство С 2d 1 является необходимым и достаточным условием для устойчивости. Условие (3.112) можно записать в виде 2)

М2а/и\ (3.113)

откуда сразу следует, что при отсутствии вязкости (а = 0) схема с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной неустойчива при всех At.

Два условия d /2 и Rec 2 являются достаточными для устойчивости в случае линейного уравнения в бесконечной области при постоянном и. Случай, когда и является функцией пространственной переменной, также можно исследовать при помощи данного метода, но это трудно.

В случае более общих конечно-разностных схем, использующих не менее трех временных слоев, уравнение, соответствующее



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [ 19 ] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199