Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 [ 173 ] 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

При (3 = 0 эта схема является схемой с центральными разностями по пространственной переменной, а при р=1-схемой с разностями против потока. Показать, что приведенная выше конечно-разностная схема дает точное решение следующего дифференциального уравнения в частных производных:

dt (5х Ах п! dx"- Ах п! dx"

n=-2ft n=2k+l

(Ломекс с соавторами [1970].) На примере схемы с разностями против потока показать, что при исследовании устойчивости важен учет разностей по времени в противоположность методу, в котором время не дискретизируется (см. выше).

3.11. Построить схему для уравнения диффузии, основанную на аппроксимации Адамса - Бэшфорта для производной по времени. Доказать по меньшей мере условную устойчивость этой схемы. Для уравнения, содержащего конвективный и диффузионный члены, доказать, что при малых и/а имеет место по меньшей мере условная устойчивость.

3.12. Для исследования устойчивости схемы Крокко при отсутствии вязкости применить метод Хёрта и показать, что ае = иМ{Г- Уг).

3.13. а) Используя для производной по пространственной переменной d%dlx выражение, приведенное в задаче 3.1, и разложение в ряды Тейлора по времени до членов третьего порядка включительно, построить схему, аналогичную схеме Лейта.

б) Исследовать полученную схему на устойчивость. Применить для исследования устойчивости метод фон Неймана и в случае необходимости принять, что С < 1.

3.14. Для модельного уравнения при отсутствии вязкости рассмотреть неявную схему с разностями против потока

Исследовать схему на устойчивость. Выяснить, обладает ли данная схема свойством транспортивности.

3.15. Необходимое и достаточное условие устойчивости схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной для одномерного уравнения диффузии имеет вид d rfma = /г, где d = аМ/Ах. Для двухшаговой схемы Мацуно - Браиловской достаточное условие будет d rfmax = Л- Если итерации продолжаются неограниченно, будет ли величина шага по времени и далее продолжать оставаться ограниченной, когда rfmax->0, ИЛИ итсрации приведут к тому, что схема приблизится к полностью неявной схеме, для которой rfmax = о°?

3.16. Для схемы Курихары проделать следующее.

а) Схематически изобразить на плоскости (х, t) два шага. Показать, как достигается центрирование по пространственной переменной и по времени.

б) Записать схему в виде одношаговой процедуры.

в) Показать, что данная схема не будет проявлять неустойчивость, связанную с расчленением решения на временном шаге, свойственную схеме «чехарда», и что фурье-компонента с длиной волны А = 2Ax является стационарной.

г) Показать, что при С = 1 схема не дает точного решения.

д) Провести исследование устойчивости по методу фон Неймана и показать, что \к\ = 1.

е) Исследовать влияние схемной искусственной вязкости в нестационарном и в стационарном случаях.

ж) Доказать, что ошибка аппроксимации будет Е = О [Ах, At).



а) /.(?) = -

б) /. (О = а

«+i = $" + A/L (j"+i/2),

тс я j схе

Заметим, что первый шаг является неявным, а второй явным. При помощи метода фон Неймана исследовать схему на устойчивость в тех случаях, когда

2 Ах

3.18. Применяя метод фон Неймана, исследовать на устойчивость схему Саульева с одним направленном обхода точек для уравнения диффузии.

3.19. Показать, что для того, чтобы избежать увеличсння ошибок вдоль пространственной координаты в явной схеме метода чередующихся направлений с производными по диагонали для уравнения, описывающего конвекцию при отсутствии вязкости, требуется выполнение условия С 1.

3.20. Показать, что коэффициент схемной искусственной вязкости в схеме Фромма в одномерном стационарном случае вдвое меньше, чем этот же коэффициент в схеме Лейта.

3.21. Показать, что метод последовательной верхней релаксации, иногда называемой экстраполированным методом Либмана, действительно является линейной экстраполяцией метода Либмана при ш = 1.

*3.22. Экспериментально определить оптимальную величину параметра релаксации Шо для случая прямоугольной области с обратным уступом (см. рис. 3.22). Заметим, что величина шо будет зависеть от размеров области и величин шагов пространственной сетки Дх и Ау.

3.23. Рассмотреть следующий способ вычисления вихря на стенке в точке W. Внутри твердой стенки на расстоянии Ау от ее поверхности помещают фиктивную точку W- 1 и в ней полагают грю-] = фш+ь Для аппроксимации уравнения Пуассона Vw = t,a используются центральные разности Показать, что этот способ арифметически эквивалентен применению для вычисления t,„ способа первого порядка точности.

3.24. Пусть заданы значения функции f в точках сетки /), /,±i, /,±2 и т. Д. Определим новые значения в узлах (±/2 и т. д. при помощи осреднения:

f,-±l/2 = (/i + /,-±.)/2-

Обозначим через 6f/6x и (>1/(>х конечно-разпостные выражения для производных со вторым порядком точности по значениям функции / в узлах (± 1, например

i 2Ах

Обозначим через б бх и 62 бх2 конечно-разностные выражения для производных, также имеющие второй порядок точности, но вычисленные по зна-

чениям функции в узловых точках i ± /г, например

и+ 112 ~ U-\I2

кроме того, -J

i-1/2 Ах

3.17. Б.поттнер (личное сообщение) предложил следующую одношаговую схему второго порядка точности-.



Показать, чю а)

= 0.

1 Ьх

: Ьх

г± 1/2

3.25. Если сеточные значения функции f линейно интериолируются на сетку с вдвое меньшим размером шага, то величины первых производных ЬЦЬх в узлах новой сетки, совпадающих с узлами старой сетки, остаются прежними, а величины вторых производных 6f/6x меняются (см предыдущую задачу) Построить такую схему определения значений функции f на более мелкой сетке, чтобы б 6x1, = bf/8x\i. Заметим, что, вообще говоря, требуется, чтобы f, f, и б бх1, 6f/6x,

3.26. Рассмотреть одномерную задачу для уравнения бf/бx = q с граничными условиями Дирихле /(0) = О, /(1) = 1 Применить конечно-разностные формулы второго порядка точности, считая, что нижняя граница находится в точке 1 = 2 Тогда первое из граничных условий /3/2=6 аппроксимируется равенством fi = -/2, где ft берется в точке, расположенной «ниже» нижней границы Взяв всего лишь 3 или 4 узла, так чтобы можно было провести вычисления, не прибегая к помощи ЭВМ, показать, что: а) применение такой сетки приводит к ошибкам, связанным с нарушением ограниченности решения, при этом фг < О, что невозможно для дифференциальных уравнений, б) результат будет иметь только первый порядок точности Используя настольную вычислительную машину или небольшую программу для ЭВМ, можно проверить, что ошибка, связанная с нарушением ограниченности решения, продолжает существовать при Ax->-0.

3.27. Рассмотреть гидродинамическую задачу, в которой для уравнений, записанных через функцию тока ф и вихрь , на стенке ставятся граничные условия прилипания Рассмотреть течение в замкнутой прямоугольной области с Одной подвижной стенкой в том случае, когда на всех стенках ставится условие прилипания. Исходя из граничных условий и = О (или и = 1 на движущейся «крышке») и v = О, получаем граничные условия для функции тока:

ф = 0 (или какая-либо другая постоянная) (а)

д1дп - 0 (или 1 на «крышке»). (б)

Чтобы упростить задачу, рассмотрим случай, когда Re = О (течение Стокса) Тогда для стационарной задачи уравнения сводятся к линейному бигармони-ческому уравнению

= 0. (в)

Решить бигармоническое уравнение, расщеитяя его на два уравнения Пуассона

= (г)

Vt = 0. (д)

Показать, что при решении уравнения (г) можно ставить условие (а), а при решении уравнения (д)-условие (б), но для уравнения (д) нельзя брать условие (а), так же как и условие (б) для решения уравнения (г). (См. разд 3 3.2.)

3.28. а) Решить на ЭВМ плоскую задачу о течении в замкнутой прямоугольной области с Одной подвижной границей. В качестве характерной скорости выбрать скорость «крышки». При числе Рейнольдса Re == 10 воспользоваться грубой сеткой с размерами шагов Аде = Д(/ = Л. Применить для уравнения переноса вихря схему с разностями вперед по времени и централь-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 [ 173 ] 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199