Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 [ 172 ] 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

ЗАДАЧИ

Задачи, отмеченные звездочкой, предназначены для решения на ЭВМ. Для решения любой из этих задач требуется не более 510 минут на таких ЭВМ, как CDC 3600, UN1VAC 1107, IBM 360/50.

Глава 2

2.1. Вывести уравнение переноса вихря для случая переменного коэффициента вязкости р,. Привести уравнение к безразмерным переменным, учитывая, что Re = рУоСУДо, а р, = Д/До-

2.2. Показать, что коэффициент сопротивления Со тонкой плоской пластинки длины L, расположенной параллельно направлению потока, можно вычислить при помощи интегрирования коэффициента поверхностного трения. В этом случае

Сила сопротивления

D VzPlJc (Площадь пластинки) L

C = 2Cf, C = (l/Re) J ?rfx.

где - безразмерная величина вихря на поверхности пластинки. Глава 3

3.1. Вывести для производных следующие конечно-разностные выражения с точностью до О (Ах):

S,-2-4S,i + 6S,-4g. , + g, 2 Ах

3.2. Рассмотреть уравнение неразрывности для сжимаемой жидкости с массовой плотностью р

V.(pV) = - pV-V-V-Vp,

в частности в одномерном случае

(Эр д (рц) ди <?р

dt дх ~ дх " дх

а) Показать, что применение центральных разностей по пространственным переменным для уравнения в первой форме приводит к консервативному разностному уравнению.

б) Показать, что уравнение во второй (продифференцированной) форме также будет консервативным и соответствует ZlP-аппроксимации (см., например, Хёрт [1968]) для членов, описывающих поток через сторону ячейки, в виде

(P«)j + l/2 = V2(P;«i+l + P, + l«;).



бх дх 6х

дает точный результат. (Эту задачу предложил д-р Ф. Блоттнер.)

3.4. Рассмотреть член со второй производной d(a{dljdx))ldx, описывающий диффузию. Показать, что ошибка апроксимации наименьшего порядка при применении разностей в консервативной форме (см. задачу 3.3) имеет вид

J-A 2( dl 3 да д% да дХ \ 6 V дх дх 2 дх дх дх дх )

а при примеиенни разностей в неконсервативной форме - вид

1 Г да dt Да 1 dt \

Q . \ дх дх дх дх 2 дх* )

Если и а - квадратичные полиномы:

1 = at + bix + Cix, а = 02 + 62х + Сгх

то анализ ошибки показывает, что неконсервативная форма будет более точной, причем член порядка О(Ах) равен нулю, в то время как для консервативной формы получается 0(Ax) = -сс. (Эту задачу предложил д-р Ф. Блоттнер.)

*3.5. Составить программу для схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по простраиствеииой перемеиной в случае одномерного модельного уравнения. Рассмотреть различные виды численных условий на выходной границе как при фикснроваииых, так и при периодических (синусоидальная волна) значениях величины t, на входной границе. Условия на выходной границе должны включать по крайней мере следующие: условие нулевого градиента, линейная экстраполяция и разности против потока.

3.6. Рассмотреть схему «чехарда» в применении к одномерному модельному уравнению, описывающему конвекцию в невязкой жидкости, для точек, удаленных от границ. Исследование устойчивости провести методом дискретных возмущений, полагая ?" = е и = О во всех остальных точках. Показать, что для самой дальней вниз по потоку точки, испытывающей влияние точки 1, возмущение имеет следующий вид:

i + H - >

в) Чтобы уменьшить некоторые обусловленные нелинейностью осцилляции, возникающие при использовании уравнения во второй (продифферен-цироваииой) форме, предлагается следующая модификация. В члене "iCPi+i - Pi-i)/{2Ax) скорость конвекции Ui заменяется средним от ее значений в двух соседних точках, так что этот член принимает вид Va ("i+i + "i-i) (Р+1 ~ Р;-1)/(2Адс). Показать, что такая схема также будет иметь второй порядок точности, но не будет консервативной.

3.3. Рассмотреть член со второй производной dla{dtjdx)]/dx, описывающий диффузию. При t, = ах и а - Ьх в результате дифференцирования имеем д[а(д1,1дх)\1дх = баЬх. Показать, что применение разностей в консер-вативпой форме дает

б / 6gN V,(a.,+a.)(g.,-g,.)-./,(a. + a. ,)(S.-S. ,) Ьх \ bxJi Ах

тогда как применение разностей в иекоисервативиой форме

„ бг 6а



где С - число Куранта. Для точек, расположенных за таким «фронтом», = C+ft-f 1 °= О- Показать, что вверх по потоку распространяется ошибочное решение, для которого "J = (-С). Построить графики решений при С = 1, С = Vs и С = Vio.

*3.7. Исследовать поведение схемы «чехарда» на примере одномерной задачи

а) Изучить влияние числа Куранта С и величины шага по времени М на решение задачи с начальным условием (х, 0) = О, условием на входной границе ?(0> О = sin / и численным условием на выходной границе =

б) Изучить поведение решения, если = = О для нечетных / и ? = + 1, = - 1 для четных / и " = О, в зависимости от двух вариантов условий на

выходной границе: 1) S"/*"= s","*!! и 2) = Достаточно рассмотреть

сетку с десятью ячейками ((/= 11) Предварительно читатель может ознакомиться с главой 7

*3.8. Для модельного уравнения, описывающего конвекцию и диффузию в одномерном случае, составить расчетную тестовую программу для исследования влияния на устойчивость переменности по пространству скорости конвекции и. (Эта задача, допускающая неограниченное множество решений, может охватить многие возможные комбинации конечио-разностных схем для расчета внутренних точек, начальных условий, граничных условий и т д Она может быть предназначена в качестве работы на досуге или в качестве темы диссертации на степень доктора философии. Задача особенно эффективна как учебная, когда студенты исследуют различные схемы )

3.9. Для решения Блазиуса уравнений пограничного слоя при обтекании плоской пластинки (см Шлихтинг [1968]) можно вывести следуюшее соотношение:

Ve/Ue = 4.302/Re6

где Ve и Ue - состзвляющие вектора скорости на границе пограничного слоя, а Rej - число Рейнольдса, вычисленное по толщине пограничного слоя б,

Ree = Ugb/v

Показать, что при использовании схемы с разностями против потока при выборе десяти расчетных точек поперек пограничного слоя можно за счет влияния схемной искусственной вязкости ожидать уменьшения эффективного числа Рейнольдса приблизительно на 20%

3.10. Рассмотреть метод исследования устойчивости, основанный на дискретизации по пространственной переменной при отсутствии дискретизации по времени Этот метод, вероятно, был бы приемлем для гибридных (аналого-цифровых) вычислительных машин, в которых текущее время задачи находится в определенном соответствии со временем вычислительной машины Этот метод можно было бы использовать для изучения классов разностных схем, которые строятся в виде комбинации схем для одномерных обыкновенных дифференциальных уравнении, например, схема с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной принадлежит к этому классу, а схема Лейта не принадлежит.

Для модельного уравнения при отсутствии вязкости рассмотреть конечно-разностную схему, имеющую общий вид



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 [ 172 ] 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199