Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 [ 171 ] 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

В наиболее чувствительном узле сетки (2,3) для установившихся решений А и В безразмерные плотности отличаются на 2.3%, безразмерные давления - на 3%, безразмерные расстояния отхода ударной волны - на 0.6 %•

Процентное различие между этими двумя решениями мало, поскольку в данном случае решение конечно-разностного уравнения лишь слабо зависит от aes и At, а ударная волна рассматривается как разрыв. Численные решения, полученные при помоши этой и других схем с явной и неявной искусственной вязкостью, несомненно, будут разумными приближенными решениями. Весьма сушественно, что двумерное стационарное решение действительно зависит от А, подтверждая тем самым одномерный анализ величины as-

Дальнейшее исследование влияния величины At проводилось на более мелкой сетке (5X7). Решение со STAB = 1 устанавливалось по всем четырем значащим цифрам, выводимым на печать в этом расчете, в то время как в «стационарном» решении, полученном при STAB = /ю, наблюдались устойчивые осцилляции плотности ±1 во второй значащей цифре. Такое поведение снова согласуется с результатами стационарного анализа, которые показывают, что величина а пропорциональна А.

Обсуждение других схем

Обсуждение других конечно-разностных схем применительно к модельному уравнению (В.1) приводит к следующему. Стационарный анализ схем «чехарда со средней точкой», Крокко, Адамса - Бэшфорта, Хойна, Кранка - Николсона, полностью неявной схемы и различных неявных схем метода чередующихся направлений дает нулевую схемную вязкость, за исключением случаев применения конечных разностей против потока для конвективных членов в некоторых вариантах метода чередующихся направлений. Многошаговые схемы Стренга, Абарбанеля и Цваса, Фромма (Фромм [1968]) и Кроули дают существенно ненулевое значение aes при стационарном анализе. К схемам, в которых как нестационарный, так и стационарный анализ дают нулевую искусственную вязкость, относятся схема «чехарда со средней точкой», схема Аракавы, схема Робертса - Вейса с производными но диагональным нанравлениям (Роберте и Вейс [1966]), а также те из схем метода чередующихся нанравлений, ошибка анироксимации которых 0{Ах, А). Конечно, каждая из перечисленных схем имеет свои недостатки.

Интересно отметить, что выражение для aes в схеме Лейта, <Xes = /iiit, не содержит явно Ах. Поэтому при АхО величина ttes-O только за счет условия устойчивости Куранта, в ко-



Заключительные замечания

Сделаем в заключение четыре замечания но поводу интерпретации схемной вязкости.

1. Анализ ошибки аппроксимацни указывает порядок этой ошибки, который, строго говоря, применим лишь при Ах, At-0. На практике пас обычно интересует не порядок ошибки аппроксимации, а ее величина при некоторых конечных значениях Ал: и At. Так, добавление некоторого малого вязкого члена (скажем, при Re = 10 и Ал: =/ю) формально увеличивает ошибку аппроксимации схемы Лакса - Веидроффа с центральными разностями до порядка О (Ах), однако при С = 1 величина этой ошибки остается пренебрежимо малой. Заметим, что величина ошибки анироксимации уменьшается постепенно при уменьшении С, в то время как ее порядок меняется скачком: при С = 1 мы имеем точное решение, а при С<1-ошибку порядка О(Ах).

2. Для многомерных задач наиболее важным проявлением вязкости в смысле качественной разницы между решениями при отсутствии вязкости и при ее наличии обычно оказывается не наличие в уравнениях вязких членов при расчете внутренних точек, а необходимость постановки граничных условий прилипания. Так, Кенцер [1970] отметил, что при иснользовании граничных условий для невязкой жидкости (условий скольжения потока) можно получить очень точные приближения для решений при отсугствин вязкости даже при столь малых числах Рейнольдса, как 300, и даже на не слишком мелкой сетке. Это означает, что полученные численные решения без учета вязкости могут быть точными даже при наличии схемной вязкости, однако погрешность может быть несколько более существенна для задач с учетом вязкости. (Считая, что ошибка, связанная с наличием в конечно-разностных уравнениях коэффициента aes, влияет, например, на полученное значение коэффициента сопротивления Со, не надо пытаться выявить такую малую ошибку в Со, а лучше искать сдвиг по Re, которому отвечает найденное значение Со. Это, очевидно, допустимо, потому что течение, как правило, слабо зависит от величины Re.)

тором требуется, чтобы А-О при Ал:->0. Если бы была разработана схема, основанная на разложении в ряд Тейлора до второго порядка включительно, как и схема Лейта (или Лакса- Вендроффа и др.), но безусловно устойчивая, из-за фиксированного At коэффициент aes не обращался бы в нуль даже прн Ал: ->0.



3. В двумерных задачах коэффициенты aes зависят от и и v, которые определены относительно эйлеровой сеткн. Это означает, что в нанраплсниях х п у имеются различные величины aes, меняющиеся по пространству и стремящиеся к нулю около неподвижных сгенок с условиями прилипания на них. Поэтому введение «эффективного Re» не имеет количественного смысла даже для вязких решений и вязкие решения конечно-разностных уравнений с ненулевыми aes часто более точны, чем можно было бы ожидать при оценке as но условиям в невозмущенном потоке. Однако такие решения не инвариантны относительно преобразова1П1я 1а,чилея (см. Джепгрн с соавторами [1966]). Кроме 1010, в решениях задач об обтеканнн вращающихся тел может иаб.иодаться аномальное поведете, связанное с различными значениями аъ на противоположных сторонах тел.

4. Имеется несколько способов постановки на выходных границах многомерных течений численных условий, соответствующих свободному потоку. Цель этих способов - уменьшить ошибку вверх по потоку, обусловленную тем, что для невязкой жидкости принпмается С < 1.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 [ 171 ] 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199