Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 [ 169 ] 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

коэффициентом. Однако ввиду того что подобный член в иеход-ном дифференциальном уравнении отеутетвует, такая процедура еама по еебе не приведет к плодотворной физической интер-иретации поведения решений конечно-разноетных уравнений.

Следует также отметить, что еели раеематриваемые задачи имеют граничные условия вида

1(0) = а, tAi)-=b (Б.23

t(0) = a, Ш) = Ь, (Б.24)

то стационарное решение будет иметь вид

tW = C,-f Сге"/», (Б.25)

причем Сг ф 0. Это решение дает отличные от нуля значения всех производных по пространственным переменным. В отличие от ситуации, имевшей место при рассмотрении уравнения для невязкой жидкости, в этом случае разница между величиной ае, определяемой выражением (Б.7), и величиной aes, определяемой выражением (Б.8), весьма существенна.

Для многомерных задач с нелинейными коэффициентами в уравнениях стационарный и нестационарный анализ проводятся уже не так просто. В обоих случаях получаются различные значения ае или aes для различных направлений (они даются выражениями, аналогичными (Б.7) или (Б.8)). Однако нестационарная форма ае, даваемая выражением (Б.7), получена с помощью соотношений (Б.5), неприменимых в многомерных и/или нелинейных задачах. Кроме того, из многомерного нестационарного анализа следует, что стационарное решение, нолученное по схеме конечных разностей против потока, зависит от At, а это противоречит практике расчетов.

Таким образом, для многомерных нелинейных стационарных задач, по-видимому, применим лишь стационарный анализ.

Нестационарный и стационарный анализ других схем

в табл. I приведены результаты стационарного и нестационарного анализа искусственной вязкости различных схем применительно к модельному уравнению (Б.1) для невязкой жидкости. Стационарные результаты для этого уравнения идентичны аналогичным результатам для уравнения (Б.9) с учетом вязкости при использовании для представления вязкого члена любой из известных схем второго порядка точности с центральными разностями, а именно: схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным



Таблица I

Коэффициенты схемной искусственной вязкости, полученные при нестационарном и стационарном анализе различных конечно-разностных схем, примененных для уравнения S< = - "Sr "Р" С = и Д/Ал:

Наавание схемы Конечно-разностное уравнение "ан1лиз"Х"* зналнз",а""* *°ошнбки"ппрокси-"

1. Конечные разности = - С - (и Д;с/2) (1 - С) и Дл:/2 О (At, Ах) против потока

2. Разности вперед по = (g» « Л - (иAt/2) О О (At, Ах) времени и централь- 2 +

ные разности по пространственным переменным

3. Схема Лакса gn+i = 1 + (Ах/(2 At)) (1 - С) Ах/(2 At) О (At, Ах, Ax/At)

~Т ("-1-1 ~ "-0

4. Схема Лейта ) = £ +0 и At/2, или О О (At, Ах)

5. Схема Мацуноб) = £. « ) иAt О О (Д/, Д*2)

Аналогичные результаты имеют место для схем Лакса -Веидроффа, Моретти, Мак-Кормака и друхшаговой схемы Лакса-Вендроффа.

б) Аналогичные результаты имеют место для схем Браиловской и Чена-Аллена.



переменным, полноетью неявной ехемы, неявной ехемы чередую-щихея направлений, ехем Чена - Аллена, Крокко, Саульева, Адамеа - Бэшфорта и др.

При и = const схема с разностями против потока эквивалентна схеме с донорными ячейками (см. Джентри с соавторами [1966]) или второй схеме с разностями против потока, в которой на сторонах ячеек используются осредненные по ячейкам скорости переноса. И при нестационарном анализе, и при стационарном анализе при С < 1 в этой схеме имеется ненулевая искусственная вязкость. Схема с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным в отсутствие физических вязких членов неустойчива и соответственно при нестационарном анализе в ней < О (см. Хёрт [1968]). В схеме Лакса (Лаке [1954]), которая широко применяется и теперь, в случае С < 1 в обоих вариантах анализа также имеется ненулевая искусственная вязкость.

Очень важную роль играет схема Лейта (Лейт [1965]; см. также Нох и Проттер [1963]). Она основана на разложении уравнения (Б.1) в ряд Тейлора но времени до второго порядка включительно. Для модельного уравнения (Б.1) схема Лейта алгебраически эквивалентна другим схемам, в которых применяется разложение в ряд Тейлора по времени до второго порядка, например схемам Лакса - Вендроффа (Лаке и Вендрофф [I960]), Моретти (см. Моретти и Аббетт [1966]), Мак-Кормака (Мак-Кормак [1969, 1971]), Рихтмайера (Рихтмайер [1963]) и другим двухшаговым схемам Лакса - Вендроффа. Схема Лейта входит также в схему с нулевой средней фазовой ошибкой, предложенную Фроммом (Фромм [1968]), а при некоторых частных комбинациях параметров эквивалентна даже схеме Русанова (Русанов [1961]). Знаменательно, что в схеме Лейта равенство ае = 0 появляется только в нестационарном анализе. В стационарном анализе aes = ДиА/, откуда следует, что aes = 0 только при А/->0. Эта схема алгебраически эквивалентна схеме с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным, записанной для уравнения (Б.9) с физическим коэффициентом вязкости а = = ДыА/. Однако если для этого коэффициента подсчитать «искусственное» сеточное число Рейнольдса Rcce = uAx/aes, то получим Rece = 2/C. Поскольку для устойчивости необходимо С 1, при этом всегда необходимо выполняется неравенство Rece 2. Как показано в разд. 3.3.8, подобные решения немонотонны и поэтому не моделируют течений вязкой жидкости. Анализ показывает, что схемная вязкость вводится правильно, если к разностному уравнению без учета вязкости, записанному по схеме Лакса - Вендроффа, просто добавить физические вязкие члены и представить их конечными разностями вперед по



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 [ 169 ] 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199