Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 [ 165 ] 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

508 7.4. Заключение

произведений uv и другие корреляции высших порядков. (Заметим, что статистическая теория турбулентности отдает предпочтение усреднению по ансамблю перед усреднением по времени, однако возможность проведения множества расчетов для получения усреднения по ансамблю в настояшее время представляется трудновынолнимой.)

Легко видеть, что расчет диагностических функционалов для турбулентных течений может занять больше времени, чем расчет самого течения. Поэтому рекомендуется записывать решение на магнитную ленту и обрабатывать его отдельно. Из-за ограниченного объема памяти внешних запоминающих устройств обычно представляется возможным хранить не результаты всего численного эксперимента (Гоэйн и Притчетт [1968]), а только отдельные его части за некоторые отрезки времени.

Подобный подход применялся в физическом эксперименте Коважным и Френкилом; данные с термоанемометра записывались на магнитную ленту и впоследствии анализировались и обрабатывались. Гоэйн и Притчетт [1968] соглашаются с тем, что построение решения и обработка полученной информации не должны проводиться в одной и той же программе, однако рекомендуют проводить одновременную обработку некоторых результатов для получения хотя бы немногочисленных статистических характеристик, необходимых для информации о состоянии турбулентности (это аналогично слежению за ходом физического эксперимента по экрану осциллографа, на который подается сигнал от термоанемометра). Другим преимуществом этого подхода, применимого к изучению не только турбулентности, но и других нестацпонарных процессов, является возможность глубже анализировать результаты по мере развития теории, не проводя расчетов заново.

7.4. Заключение

в настоящей главе мы привели некоторые рекомендации по составлению, отладке и проверке программ и по обработке получаемой информации. Это согласуется с целями, поставленными при написании данной книги, поскольку она посвящена проблемам, связанным с практическим получением и интерпретацией численных решений гидродинамических задач. Все эти вопросы, и в особенности вопросы обработки информации, в па-стоящее время образуют обширное поле исследований и не менее важны и актуальны, чем сама разработка численных методов,



Приложение А МЕТОД ПРОГОНКИ

Здесь будет рассматриваться метод решения конечно-разностных уравнений, которые имеют трехдиагональную матрицу. Рихтмайер и Мортон [1967, с. 202] утверждают, что этот метод является просто специальной формой метода исключения Гаусса, но обычно его называют методом Томаса Описание и обозначения, предлагаемые ниже, частично взяты из книги Рихтмайера и Мортона, причем берутся более общие граничные условия. Следует упомянуть также и другие работы: Писмен и Ракфорд [1965], Розенберг [1969] и Эймс [1969]. Границы ошибки приведены в работе Фишера и Усманн [1969].

Конечно-разностная форма уравнений для внутренних точек сетки записывается в следующем виде:

-AW, + BW-C,Jir ,D. (А.1)

Например, для уравнения Пуассона в одномерном случае

дфу = Ш (А.2)

(А.З)

получаем или

Л„=1. Вгп = 2, С=\, Z)„=-UA(/l (А.4)

Рихтмайер и Мортон [1967] показали, что для того, чтобы величина ошибок округления при реализации алгоритма не возрастала, достаточно выполнения неравенств

Л„,>0, В„>0, С„, >0 (А.5)

В>Ат + С. (А.6)

) Метод прогонки был предложен в начале пятидесятых годов независимо целым рядом авторов, в том числе советскими математиками И. М. Гельфандом и О. В. Локуциевским. Для решения разностных уравнений газовой динамики его применяли К. И. Бабенко и Г. П. Воскресенский. Другие более общие варианты метода прогонки принадлежат К. И. Бабенко и Н. Н. Чепцову (матричная прогонка), Л. А. Абрамову и В. Б. Андрееву (циклическая прогонка), Л. М. Дегтяреву и А. П. Фаворскому (потоковая

ПрОГОНКл) - Пр1П1 пгд



) В разд. 3.2.8 мы отмечали, что такой «маршевый» подход, вообше говоря, неустойчив, поскольку ошибка округления при этом растет экспоненциально. Исключением является особый случай одномерного уравнения (А.З), для которого ошибка растет только линейно,

Будем считать, что т меняется от m = 1 до m = М, и исследуем различные комбинанни граничных условий на каждой из границ.

Рассмотрим множество G векторов W, которые являются решениями уравнения (А.1) с заданным на левой границе (при т = \) граничным условием. Это множество G представляет собой однопараметрическое семейство, где роль параметра играет значение W2- Например, если ставится условие Дирихле W\ = a{, то при каждом значении W2 уравнение (А.1) можно разрешить относительно Wm+i и, таким образом, с помощью рекуррентного соотношения получаются) значения Wm+i для всех т -\- \ 2>.

Постулируем сушествование двух векторов Е я F, таких, что для любого W G

Wm = EmWm+i + Fm. (А.7)

Сушествование таких векторов Е я F скоро станет очевидным. Понизим на единицу индекс т в уравнении (А.7), что даст

Wm-i = E ,W + F-,. (А.8)

Подставляя Wm-i из соотношения (А.8) в уравнение (А.1) и разрешая получившееся уравнение относительно Wm, получаем следующее рекуррентное соотношение:

- = -в--Цт+1+ • (А.9)

Сравнивая уравнения (А.9) и (А.7) и замечая, что оба уравнения должны выполняться для всех W G (т. е. для всех значений W2), для Ет я Fm при гп 2 будсм иметь

--B-tn-r (А. 10а)

rn= п р р- (А.106)

Из условия на левой границе определим Е и F{, после чего для вычисления Е я F во всех точках в направлении возрастания т вплоть до т=М-1 можно воспользоваться рекуррентными соотношениями (А.10). Далее, из правого граничного условия определяется значение Wm, а уравнение (А.9) с известными коэффициентами Л, В, С, D и найденными значениями Е я F служит для вычисления значения Wm по Wm+\ я т. д. в направлении убывания т от т = М - 1 дот = 1.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 [ 165 ] 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199