Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 [ 158 ] 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

Гринспэн [1967] рассматривал три одномерные задачи с линейными, но переменными коэффициентами при членах, аналогичных конвективным. Для всех трех задач ставились начальные условия «(х, 0) - X, и они имели решения вида u(x,t) = = хе-К Эти решения могут быть полезными, однако необходимо отметить, что они дают ди/дх = О во все моменты времени. Поэтому, хотя вторая производная и входит в уравнение, вклады в этот диффузный член происходят лишь от накопления ошибок округления и аппроксимации, что может сделать эти точные решения не подходящими. То л<е самое замечание можно сделать относительно двумерной нелинейной тестовой задачи, которую предложили Гурли и Моррис [1968а] и точное решение которой и= {\ - X -у)е- дает ди/дх = ди/ду = О во все моменты времени.

Практические тестовые задачи, обладающие точными решениями для одномерных течений невязкого совершенного газа, удачно подобраны Хиксом [1968]. Он привел семь тестовых задач, включающих скачки, волны разрежения и взаимодействие волн. Хикс и Пелцл [1968] применяли эти задачи для сравнения точности различных схем в лагранжевых переменных. Гордон и Скала [1969] в качестве тестовых задач исиользовали плоскую задачу о поршне, плоскую задачу о разлете массы и центрально-симметричную задачу о сферическом взрыве. Никастро [1968] нашел точные автомодельные решения радиационной газодинамики в сферически-симметричном случае как для взрыва, так и для схлопывания. Эти решения оказались весьма ценными для проверки столь трудных для численного решения задач, поскольку в них накладывались не слишком жесткие ограничения на начальные условия и вид закона переноса излучения. Стери-берг [1970] нашел автомодельные решения для распространения плоских, цилиндрических и сферических ударных волн с учетом химических реакций.

Свой «почти лагранжев» алгоритм расчета квазиодномерных течений Б. К. Кроули [1967] проверяла на двух идеализированных задачах с источником и стоком массы. Предполагалось, что источник массы подает массу с нулевой кинетической энергией, а сток энергии обеспечивает равенство нулю общего потока энергии. В задаче со стоком массы происходит уменьшение как внутренней, так и кинетической энергии, которое компенсируется источником энергии. Хотя эти иредиололчения и ие имеют физического смысла, они позволяют получить точные решения, пригодные для проверки численного метода.

Для схем и алгоритмов расчета уравнений пограничного слоя существует много точных автомодельных решений (см. Шлихтинг [1968]). Для большинства из них требуется распределение



скорости вне пограничного слоя по степенному закону Ue= ах"*. (Для несжимаемой жидкости для тестовых целей можно использовать также класс решений с «е = ае", хотя такие решения и лишены физического -смысла.) В случае пограничного слоя в сжимаемой жидкости обычно вводятся дополнительные ограничения Рг = 1, (X 7 и 7т, = const. Для уравнений течения невязкого газа Вейс [1968] указал класс решений, которые после применения к ним преобразования Стюартсона дают требуемое степенное распределение скорости. Удобны для проверки разностных схем автомодельные решения вблизи точек торможения потока) (см. Шлихтинг [1968]), хотя они пока еше не применялись для этой цели. Другими тестовыми задачами могут служить полученные Щенниковым [1969] осесимметричные автомодельные решения уравнений вязкого газа, частным случаем которых является струя вязкого газа.

Аналитические решения уравнений для потенциального течения, конечно, обеспечивают проверку многих аспектов вычислительных программ для полных уравнений Навье - Стокса; см., например, Крамер [1969].

23. По возможности проверяйте точность расчетов сравнением с надежными приближенными решениями.

Наиболее известным случаем приближенного решения уравнений Навье - Стокса являются решения уравнений пограничного слоя (Шлихтинг [1968]). Это могут быть аналитические решения, автомодельные решения, полученные численным интегрированием обыкновенных дифференциальных уравнений, и, наконец, неавтомодельные решения дифференциальных уравнений в частных производных. Отметим, что разница в рассмотрении уравнений пограничного слоя и полных уравнений Навье - Стокса состоит не только в пренебрежении диффузионными членами в направлении основного потока, но и в постановке граничных условий на внешней границе.

Приближение пограничного слоя обеспечивает хорошую аппроксимацию при меньших числах Рейнольдса, чем обычно предполагается. Брили [1970] утверждает, что его решение уравнений Навье - Стокса с 15 расчетными точками внутри пограничного слоя начинает отклоняться от автомодельного решения уравнений пограничного слоя при Re (рассчитанных по толшине потери импульса) от 15 до 30. Сравнения с экспериментальными данными при малых Re можно найти в работе Мюллера и ОЛири [1970].

) Предложение д-ра Ф. Блоттнера.



24. По возможности проверяйте точность расчетов сравнением с экспериментальными данными.

Хотя, очевидно, это хорошая рекомендация, однако необходимо отметить, что часто точность экспериментальных значений столь же сомнительна, сколь и точность расчетных данных. В частности, отметим, что экспериментальные значения, полученные в плоскости симметрии трехмерного течения, нельзя принимать за значения в действительно двумерном течении. Хотя составляющая скорости по 2 может равняться нулю, члены вида д/дг могут быть отличны от нуля и, следовательно, вносить вклад в трехмерный поток количества движения. Заметим также, что замеры давления внутри пограничного слоя в сжимаемой жидкости очень трудны.

25. По возможности проверяйте точность полученного решения глобально.

При аналитическом исследовании точности конечно-разностных уравнений Сайрус и Фалтон [1967] обнаружили опасность, возникающую при попытках характеризовать погрешность всего численного решения проверкой точности в одном узле сетки или в небольшом числе узлов. При сравнении различных постановок граничных условий Скоглунд и Гей [1968, 1969] установили также, что при использовании неконсервативных форм местные невязки не зависят от способа постановки граничных условий и поэтому не могут служить хорошими указателями точности.

26. При сравнении схем или программ не забывайте о программистских и машинных аспектах.

При сравнении двух различных достаточно сложных программ можно ие придавать серьезного значения небольшой разницы в их быстродействии, скажем 10 или 20%.

27. При экспериментировании с новыми схемами сначала пользуйтесь упрош,енными модельными уравнениями.

7.3. Обработка информации

Начав получать хорошие решения задачи вычислительной гидродинамики, мы сталкиваемся с трудной проблемой: что нам делать со всеми этими числами.

Численное решение типичной задачи, и в особенности трехмерной нестационарной задачи, порождает огромное количество информации, и большое значение приобретает проблема систематизации и интерпретации этой информации. Как сказал Уильяме [1969]: «Видимое моделирование физически наблюдаемых характеристик еще не дает само по себе понимания течения».



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 [ 158 ] 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199