Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 [ 157 ] 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

шение (численное) следуюшего обыкновенного дифференциаль-ного уравнения:

Р" + 2цР-4bF0, F{0)=1, F{oo) = 0

Бёрдсли [1969] для контроля брал решение в цилиндрических координатах аналогичной задачи о мгновенной остановке цилиндрического сосуда единичного радиуса, врашавшегося ранее вместе с жидкостью как единое целое. Начальное условие для окружной составляюшей скорости ve имеет вид ие(г, 0) =г для г < 1. Во все моменты времени t > О имеем ve{\, t) =0. Уравнения течения имеют вид

1 = V% „. = t j v4-i(.4f).

Точное решение записывается через функции Бесселя:

Для проверки можно взять решение задачи о течении около бесконечной плоской пластины, колеблюшейся по закону Uw - = VqCos {(at) (вторая задача Стокса; см. Шлихтинг [1968]). Решение имеет вид

и {у, i) = Uoe" cos (со/ - ц),

У] = iicu/(2v).

Недостатком этих одномерных решений является отсутствие конвективных членов в уравнениях движения. Гринспэн [1967] для изучения точности рассматривал нефизичную задачу с добавлением в уравнение неоднородных членов. При этом уравнение в частных производных, граничные и начальные условия имели вид

ди ди , . / • , i ,\ -gf == -д + sin л: • (sin t + cos t),

«(x,0) = 0, 0<x<Jt,

?/{П,/l = 0 = w(rr,/1 для / >(



Решение задачи записывается в виде

и [х, i) = sin л; • sin t.

Настоящее нелинейное поведение решений в одномерной задаче мол<но изучать при помощи уравнения Бюргерса (2.19)

ди . ди ди

dt дх ~ дх которое может быть записано в консервативной форме

dt дх \ 2 ) ~ дх

Шредер и Томсен [1969] рассмотрели его вариант без учета вязкости (а = 0) с условиями

u{x,Qi) = x, 0<л:<1; «(0,0 = 0, > 0.

Точное решение имеет вид u = x/{\-\-t), что означает отсутствие скачков при >0 (см. разд. 4.7). Однако это решение дает ди/дх = >д во все моменты времени и поэтому не может обеспечить удовлетворительной проверки (например, по нему нельзя изучить влияние искусственной вязкости). Чен [1968] и Аллен [1968] изучали точность постановки условий на выходной границе и консервативность с помощью уравнения Бюргерса при а>0 с граничными условиями и(0, )=0, и{-/2,0 = 1- Точное стационарное решение в интервале -/г х О имеет вид

и [х, оо) == - 2а th {Ах),

Л = 2агШ[1/(2а)].

Тейлор с соавторами [1972] применял полученное Лайтхиллом точное решение задачи об эволюции первоначально ступенчатой функции в бесконечном пространстве (без граничных условий по пространству). Для начальных условий

и(л:, 0)==а при x<0, «(x, 0) = 0 при x>0 точное решение имеет вид

и(л-, 0 = a{l+ехр[(х --у)]б} ,

где

Ь = erfc [- х/(2 V)]/erfc [(х - at)l{2 л/vt)].

Гурли и Моррис [1968а] рассмотрели следующее одномерное нелинейное уравнение в частных производных: ди , хи ди ( ixu

, хи ди с 2x4 ,\ ,2 А



С граничными условиями

«(х, 1)= sin (л:2-1), «(0,0== -sin Л На интервале О х 1 и при 1 t точное решение имеет вид

и (х, /) = sin (х - t).

Гурли и Моррис [19686] рассматривали также двумерную задачу с действительно нелинейными членами, напоминаюшими конвективные члены. При этом уравнение в частных производных имело вид

ди . д ( и\ . д ( и\ f, . дГ + -д7\-)+\-)=

/ {и, x, у) = Ъиху [г/ (1 г/) (2 - Зх) + x (1 - х) (2 - Зг/)].

Это уравнение можно записать и в неконсервативной форме, д f и \ и ди

положив \~) ~~2 ~qJ Начальные и граничные условия выбирались в виде

и{х, у, 0)= 100x2(1-х)г/2(1-г/), и (О, у,() = 0 при > О, и (х. О, О = О при t > 0.

Гурли и Моррис сравнивали полученные ими численные решения с точным стационарным решением задачи

и=тхуН1 -х){1-у).

Максимальное значение и{х, у, t) для всех t в квадрате Oxl, О г/ 1 приблизительно равно 2.2; это значение можно использовать для суждения об устойчивости.

Цзю [1970] получил точное решение для волн, движущихся в изотермической стратифицированной атмосфере, которое можно использовать для проверки многих программ расчета атмосферных течений.

У. Кроули [1968а] проверял схемы на фазовую ошибку при иомонц! точного решения одномерного линейного модельного уравнения с переменными коэффициентами при отсутствии вязкости, рассматриваемого в приведенном ниже упражнении.

Упражнение. Дано уравнение

d/dt = - и дЦдх

с начальным условием

1(х, 0) = /[1п («)]

где f - произвольная функция, а и = ах-\-Ь, причем а и йпроизвольные

погтояиитдо Ппктятт., что точное решение имеет вид

t (х, t) = (in и - at).



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 [ 157 ] 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199