Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 [ 151 ] 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

Эмери и Карсон [1971] показали, что для нес1ациоиариых задач с переменными коэффициентами конечно-разностные методы иредночтительнее. Митчелл [1972] дал замечательный обзор работ но методу конечных элементов.

Очевидно значительное расширение возмол<ностей вычислительной гидродинамики в будущем в связи с увеличением возможностей ЭВМ. Введение в строй машин с быстродействием и объемом памяти, такими, как у CDC STAR или ILLIAC IV (см., например, Злотник [1971]), несомненно расширит класс решаемых задач, включая многие трехмерные задачи. Однако в обозримом будущем не предвидится возможности расчета деталей трехмерных течений с областями больших значений вторых производных (сложных внутренних течений с спстемами скачков, отрывы, сопровождающиеся колебаниями, всплески турбулентности) традиционными методами на равномерных сетках. (Без разрешения деталей течения часто, но не всегда, можно получить общую картину течения.) Интересно отметить, что применение мультипроцессорного режима в ЭВМ новых поколений сделает явные схемы в некотором смысле более привле-кательны.ми, че.м неявные, что, возможно, уничтожит наметившуюся в настоящее время тенденцию к применению неявных схем для расчета уравнений переноса. (Представляется, что схема «классики», разработанная Гурлн [1970а], а также Гурли с соавторами [1971, 1971а, 19716], удобна для применения на ЭВМ с мультипроцессорным режимом.) Другой возможностью, связанной с развитием мощных ЭВМ, является применение гибридных (т. е. аналогово-цифровых) ЭВМ. Хотя всегда считалось, что они обладают большими потенциальными возможностями, к настоящему времени они, кажется, этих надежд не оправдали. Расчеты уравнений в частных производных на гибридных ЭВМ производили Вншневецкий [1968], Финн [1968], Номура и Дитере [1968], Унг и Поль [1968], Цубои и Итикава [1969]. Важно, однако, иметь в виду, что последовательная архитектура CDC STAR, параллельная архитектура ILLIAC IV и параллельно-последовательная архитектура гибридных ЭВМ, повышая эффективность машины, часто приводят к уменьшению эффективности алгоритмов и к усложнению программирования.

Более многообещающим, чем увеличение мощностей ЭВМ, нам представляется развитие их математического обеспечения. Развитие Фортрана сделало доступпымн методы выделения скачков, и можно ожидать, что дальнейшие разработки сделают возможным использование более сложных схем. Начало этой работе уже положено созданием библиотеки подпрограмм решения дифференциальных уравнений в частных производных на языке PL-1 (Карденас н Карплюс [1970]), аналогичной имеющимся в настоящее время во всех вычислительных центрах



библиотекам, содержащим стандартные подпрограммы для процедуры исключения Гаусса, процедур решения обыкновенных дифференциальных уравнений, процедур вычисления распространенных аналитических функний и т. д. Хотя представляется, что наличие конкретных граничных условий, определяющих различные гидродинамические задачи, ие позволит свести их решение к подобным стандартным подпрограммам, однако возмол<по, что применение, скажем, двухшаговой схемы Лакса - Вендроффа для разностного представления в регулярной внутренней точке может быть осуществлено такой же стандартной процедурой, как обращение к вычислению синуса. Борис [1970] применяет символический вариант Алгола, позволяющий сокращать запись наподобие векторной и тензорной символики для математических уравнений. Опыт применения подобных языков (язык MIMIC) для решения обыкновенных дифференциальных уравнений показывает, что с точки зрения экономии машинного времени трансляция и расчет задач часто проходят очень неэффективно и поэтому подобные языки представляются неиригод-иыми для рабочей программы (см. следующую главу); однако последующую оптимизацию программы не обязательно проводить самому программисту - она может осуитествляться прн помощи системы математического обеспечения (Борис [1970]).

Кроме того, в некоторых вычислительных центрах имеются диалоговые системы для численного решения уравнений в частных производных (Тиллмен [1969]), в которых пользователь имеет возможность оперативно вмешиваться в процесс расчета задачи и менять параметры задачи в соответствии с видо.м решений, высвечиваемых на экране дисплея. Для совершенствования этой техники необходимо развитие гибридных систем математического обеспечения.

Быть может, наиболее существенным здесь является развитие возможностей математического обеспечения для осуществления основных алгебраических и вычислительных операций в диалоговом режиме (см., например, Тоби [1969]). Эти возможности позволят более интенсивно исследовать новые численные методы, как полностью дискретные, так и (что более существенно) иолуаналитические. В настоящее время осуществление такого подхода заняло бы слишком много времени.

Развитие математического обеспечения в этом наиравлении оказало бы даже большее влияние на применение аналитических методов тина метода сращиваемых асимптотических разложений, чем на применение численных методов. Получение решений для возмущений высокого порядка при помощи ЭВМ, выполняющих алгебраические преобразования, могло бы стать вполне обычной задачей в случае «регулярных» возмущений, однако в газовой динамике много задач с сингулярными возму-



щениями, и поэтому, вероятно, аналитики не останутся без работы.

Существует интересная возможность использования аналитических решений высокого порядка, полученных с помощью ЭВМ, аналогичная использованию численных решений в настоящее время. Обычно желательность получения аналитического результата следует не только из быстроты проведения расчета, но и из возможности получения качественной информации из исследования функционального вида решения. Однако если «ответ» представляется выражением, записанным на сорока страницах, то его невозможно как-либо интерпретировать. Вместо этого аналитическое решение, полученное на ЭВМ, может быть машинным образом транслировано непосредственно в программу на Фортране, которая (как и конечно-разностная программа) затем используется для получения численных ответов при заданных значениях входных параметров. В этом случае «аналитику» даже не нужно просматривать функциональный вид полученных решений!

В дополнение к рассуждениям о вычислительных методах и ЭВМ обсудим классы задач, которые будут решены в ближайшем будущем. Большинство численных исследований в настоящее время в некотором смысле обособлено, что соответствует незрелости этой области науки. В будущем мы ожидаем появления более исчерпывающих исследований конкретных гидродинамических задач, включающих не только численное моделирование, но и аналитическое изучение, и физические эксперименты. Имеется несколько работ подобного типа: Бургграф [1966], Техейра [1966], Лил [1969], Мюллер и ОЛири [1970], Бургграф и Стюартсон [1971], Феннинг и Мюллер [1970]. Ожидается продолжение интенсивного развития «вычислительных теорий» турбулентности и проверки основных уравнений для турбулентности, динамики грунтов и плазмы. Ожидается, что возрастет количество и качество работ по моделированию гидродинамической устойчивости; этому вопросу посвятили свои исследования Десанто и Келлер [1961], Фромм и Харлоу [1963], Диксон и Хеллумс [1967], Нагель [1967], Пиачек [1968, 1970], Веронис [1968], У. П. Кроули [19686], Белломо [1969], До-нальдсон [1969], Лоэр [1969], Дп Прима и Роджерс [1969], Краудер и Дальтон [1971а]. Морс и Нилсон [1971] изучали магнитогидродинамическую неустойчивость.

Новые задачи перед вычислительной гидродинамикой ставит рассмотрение специальных уравнений течения, например уравнения du/dt + ди/дх = О, возникающего при изучении океанских течений вблизи экватора (Кипинг [1968]); уравнений релятивистской гидродинамики, играющих важную роль в астрофизических задачах (Шварц [1967]); гидродинамических эф-



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 [ 151 ] 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199