Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [ 15 ] 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

вативные схемы не использовались, см., например, работы Ал-лена и Саусвелла [1955], Хына и Макано [1966], Мета и Лавана [1968], Бао и Догерти [1969]. Заметим, что все схемы метода характеристик являются неконсервативными и что при конечно-разностном решении уравнений пограничного слоя консервативная схема обычно также не используется. В таких случаях свойство консервативности может служить для проверки точности вычислений (см. разд. 3.4).

Для того чтобы предостеречь от фетишизации консервативных схем, заметим в заключение, что неконсервативная форма для члена д{ад1,/дх)/дх с переменным коэффициентом диффузии может привести к более точным результатам, чем консервативная (см. задачи 3.3 и 3.4).

Упражнение. Показать, что первый момент уравнения переноса вихря в невязкой жидкости (1/Re = 0), полученный умножением уравнения (2.12) на , можно записать в консервативной форме:

4f = -V.(V£).

где величина Е = Х называется энстрофией.

3.1.4. Описание неустойчивости

Для ознакомления с некоторыми феноменологическими аспектами численной неустойчивости рассмотрим одномерное модельное линейное уравнение для . На рис. 3.6, а показано стационарное решение " на л-м временном слое, а на рис. 3.6,6 - наложение на " возмущения е, форма которого представлена на рис. 3.6, в. Такие возмущения могут порождаться либо машинными ошибками округления, либо поперечными движениями в реальной двумерной задаче. Используя схему с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной, проследим за развитием наложенного возмущения. Линейное модельное уравнение в консервативной форме имеет вид

dl д{иУ) д% dt ~ дх дх •

а разностное -вид

-- =--Ш-+ "-1?-• (З-)

Представим величину как сумму стационарной компоненты £ и возмущения е:

S? = S? + er. (3.49)






Рис. 3.6. Рост ошибки при использовании конечно-разностной схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственной переменной для модельного уравнения, описывающего конвекцию и диффузию, а - стационарное решение на п-м слое по времени; б - возмущенное решение на п-м слое; в - возмущение на п-м слое; г - колебательный рост ошибки, связанный с чрезмерно большим шагом М {динамическая неустойчивость); (Э - монотонный рост ошибки, обусловленный применением центральных разностей для конвективного члена (статическая неустойчивость).



--2Д. Д" • (3.50)

Сумма первых двух членов в правой части уравнения (3.50) представляет собой конечно-разностное значение (dt/dt)", равное нулю в силу предположения, что на п-м временном слое суше-ствует стационарное решение. Тогда уравнение (3.50) сводится к следующему:

СГ-С?АС, = -А "-tr- +адГ+;7~ • (3.51)

Первый член в правой части уравнения (3.51) дает изменение £, обусловленное конвекцией), а второй - обусловленное диффузией.

Рассмотрим уравнение (3.51) только с одним диффузионным членом и оценим его в точке i. Поскольку ei+i > О, 8i < О и 8,-1 > О, имеем

А.аД +;;7~ >0. (3.52)

Значит, для всех Д > О приращение Д,- положительно и стремится корректировать отрицательное возмущение е,-.

Аналогично, рассматривая Д в точке г+ 1, имеем 8/+2 < О, е, < О, 8г+1 > 0; поэтому

= а А/ 2. < О, (3.53)

т. е. положительное возмущение 8,+i корректируется отрицательным приращением Дг+ь

Заметим, что приращение А. = +-(а также Дг+, и т. д.) пропорционально шагу Д. Если шаг Д слишком велик, то поправка за счет приращения Д; окажется чрезмерной. Для

) При обсуждении проблемы устойчивости нелинейных уравнений пере-иоса вихря и уравнений гидродинамики в физических переменных конвективный член обычно называют нелинейным членом. Но это название не отражает существа дела. В общем случае проблема устойчивости возникает не из-за нелинейности уравнений и даже не из-за переменности их коэффициентов. Это показывают все рассматриваемые здесь задачи, в которых t интерпретируется как температура в движущейся несжимаемой жидкости, а и считается постоянной во времени и, может быть, даже постоянной в пространстве. Обсуждаемая проблемы устойчивости возникает здесь просто из-за того, что конвективный член содержит первую производную.

после этого уравнение (3.48) запишется так:

Ш 2 Ax Дх

; + 1 + ег 1-2е



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [ 15 ] 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199