Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 [ 148 ] 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

рости ио заданному распределению вихря на сферической по-верх1юсти. Мак-Крири [1967] методом конечных разностей рассчитал трехмерную ячеечную конвекцию в атмосфере.

Янович [1969] численно изучал вертикалыюе расиространение волн в вязкой изотермической атмосфере. Ван де Хулст [1968] дал метод расчета дифракции излучения в оптически толстой атмосфере. Уильямсон [1969] рассчитывал течение без трения при помощи приближения (З-илоскости и неравномерной треугольной сетки. Бао [1969а] предложил применять разностные схемы для изучения возникновения атмосферной турбулентности (неустойчивости) в устойчиво стратифицированной среде (в атмосфере или в океане). Полджер [1971] изучал влияние начальных и граничных условий и осредняющих операторов на длинноволновую нелинейную неустойчивость. В учебниках Томпсона [1961] и Ричардсона [1965] излагаются методы численного прогноза погоды, обзор Брайена и Кокса [1970] посвящен расчету океанских течений больигого масштаба. Не касаясь неносредственно метеорологических приложений, Гиллис и Лирон [1969], а также Брили и Уоллс [1971] рассчитали течение в замкнутом вращающемся цилиндре, что привело к открытию слоев Экмана, которые очень существенны во многих геофизических задачах.

Несколько работ было посвящено динамике грунтов. Дине [1968] рассмотрел уравнения непьютоновской жидкости и конечно-разностные схемы, применимые для расчета динамики грунтов. Фаччиоли и Анг [1968] разработали методы расчета сферически-симметричных сжимаемых течений, пригодные для расчета распространения волн и скачков в толще Земли. Одной из интересных особенностей динамики грунтов является то, что скачки (землетрясен1ш) здесь расиростраияются не при помощи механизма давления, а при помощи механизма касательных напряжений, что, очевидно, должно значительно изменить подход, связанный с размазыванием скачков. Другой разновидностью геофизических задач являются задачи фильтрации; см. ио этому поводу работу Будака и Васильева в сборнике под редакцией Рослякова и Чудова [1963], а также работу Дрейка и Эллинг-сона [1970].

В монографиях Эймса [1969] и Рихтмайера и Мортона [1967] приведены некоторые геофизические приложения, в частности, в последней приведено описание расчета атмосферного фронта, выполненного Касахарой и др. [1965]. В книге П. Томпсона [1961] излагаются числетгый анализ и прогноз погодных явле-1ИЙ, и ее можно рекомендовать для неспециалистов в качестве 11ведения в эту проблему. Другие ссылки на работы, посвященные геофизическим приложегшям, мол<но найти в обзорном труде Френкила и Стюартсопа [1969].



Обратимся теперь к усложнениям обычных уравнений Навье - Стокса.

Рассмотрим сначала услол<нения, связанные с видом граничных условий, которые требуют особого подхода к ренгеиию урав-нений в частных производных. Для решения задач со свободными поверхностя.ии чаще всего применяется метод маркеров и ячеек (см. разд. 3.7.4) или его видоизменения. Первоначально расчеты течений со свободными поверхностями были достаточно грубыми, однако последующие улучшения позволили учесть влияние поверхностного натялепия и моделировать опрокидывание волн. Подобные расчеты выполняли Кпллин [1966], На-ранг [1967], Хёрт и Шеннон [1968], Дали и Прахт [1968], Дали [1969а, 19696], Вьечелли [1969], Истон [1969], Митчелл [1970], Николе [1971], Васильев [1971], Чен с соавторами [1969, 1971]. Бреди [1967] рассчитал невязкое течение со свободной поверхностью. Бреннен [1971] рассматривал волны на свободной поверхностн в лагранжевом представлении.

При расчете течений со свободными поверхностями (например, жидких струй) Плетчер и Мак-Манус [1965], а также Фа-гела-Албастро и Хеллумс [1967] и Заггендорф [1971] применяли приближение пограничного слоя, пренебрегая диффузией в направлении основного течения; в последней работе учитывались реологические эффекты. Двухслойные течения похожи на течения со свободными поверхностями. Изучением перемешивания двух потоков различных газов занимались Гхиа с соавторами [1968], двухслойные стратифицированные течения рассматривали Джеммел и Эпштейн [1962], а также Хуан [1968]. Оман [1967] исследовал процессы испарения и конденсации на границе жидкости с паром. Чен и Коллинз [1971] рассчитали отражение ударной волны от границы газа с жидкостью.

Ситуация, в которых стенки приходят в движение за счет газодинамических нагрузок, возникают в таких различных задачах, как подземные ядерные взрывы, выстрел из орудия при большой начальной скорости полета снаряда п движения пищевода при глотании. Для подобных задач Уотсон и Годфри [1967], а также Уотсон [1969] применяли метод, который аналогичен методу частиц в ячейках (см. разд. 5.5.3) со смешанным эйлерово-лагранжевым описанием, а Хёрт [1971] пользовался произвольным лагранлево-эйлеровым алгоритмом (алгоритмом ALE). В этом алгоритме узлы расчетной сетки могут перемещаться вместе с жидкостью (лагранжево описание), покоиться (эйлерово описание) н, наконец, перемещаться с другими скоростями. В частности, описание может быть эйлеровым в одном направлении и лагранжевым в другом, что удобно при расчете пульсациоппых течений в каналах с упругими стеиками (артерии).



Широкоупотребптельное усложнение уравиеиий Навье - Стокса для нестационарных движений состоит в нрименении уравнений для возмущений (см., например. Нагель [1967], У. П. Кроули [19686]). Например, для изучения неустойчивости по отношению к сдвигу в несжимаемом пограничном слое переменные -ф, S можно представить в виде

ф = г1о + 1]/, (6.40а)

S = So + r. (6.406)

За основное решение можно взять стационарное решение гзо, to, скажем решение Блазиуса (см. Шлихтинг [1968]). После этого без всяких допущений можно получить нестационарное уравнение для возмущений вихря и функции тока, что и предлагается проделать в следующем упражнении.

Упражнение. Показать, что возмущения функции тока и вихря ф, удовлетворяют уравнеииям

Ж1 = V . VoS - V • VSo - V • V5 + -~V%, (6.41)

= S. (6.42)

Поскольку при вычислении i5o и L,o ошибки аппроксимации будут отсутствовать, можно олидать, что уравнения возмущений дадут более точные результаты, чем полные уравнения. Кроме того, при вычислениях члены типа V-V могут избирательно «выключаться» для выделения влияния нелинейной неустойчивости; аналогично можно положить величины Vo и v равными пулю для проверки выполнения классической теории устойчивости Оррл - Зоммерфельда при илоскопараллельном течении (см., например, Шлихтинг [1968]). Эта гибкость и возможность проверок являются наиболее привлекательными аспектами численного изучения устойчивости течения (серьезными препятствиями здесь являются привносимые в решение ошибки, связанные с затуханием, и фазовые ошибки). Предварительные (неоиубликоваипые) численные эксперименты автора настоящей книги показали, что для уравнений для возмущешш требуется специальная постановка условий на выходной границе.

Наиболее очевидным усложнением системы уравнений Навье-Стокса является добавление членов и уравнений, описывающих дополнительные физические факторы тина излучения, химических реакций, магнитогидродинамических эффектов, ко-риолисовой силы, многокомпонентности жидкости, ионизации, релятивистских эффектов и т. и. Эти уравнения зачастую могут



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 [ 148 ] 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199