Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 [ 144 ] 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

dt дх Аг

Такой подход обеспечивает коисервативиость, однако не дает возможности вычислить вязкие члены. Вопрос еще более услож-

переменных влияет на вид вязких членов в уравнении энергии для сжимаемой жидкости.)

Применение различного рода систем координат, включающих в качестве координаты радиус (цилиндрической, сферической, параболоидной и др.), требует некоторых пояснений. Что касается свойства консервативности, здесь имеет место некая двусмысленность. В случае осевой симметрии уравнение неразрывности сжимаемой жидкости в цилиндрических координатах имеет вид (Берд с соавторами [I960])

If+7г(-р«) + (р«) = 0. (6.35)

Применяя любую из схем с разностями против потока или с центральными по пространственным переменным разностями (см. гл. 5), можно показать (задача 6.2), что это уравнение консервативно в смысле сохранения массы прн протекании из одного цилиндрического контрольного объема в другой. Однако эта форма уравнения не является дивергентной формой, которая также имеет отношение к консервативности и важна с теоретической точки зрения (Лаке [1954]). Дивергентная форма уравнения неразрывности получается при введении консервативной переменной ц = рг, как в следующем упражнении.

Упражнение. Показать, что уравнение (6.35) можно записать в дивергентной форме

+ (П«) + («)=0, (6.36)

где Т] = рг.

Аналогичные соотношения справедливы и для уравнений количества движения и энергии (см. Богачевский с соавторами [1965]). Заметим, что в этой дивергентной форме значение зависимой переменной иа оси симметрии (г = 0) просто т) = 0. Однако для вычисления градиента давления в узлах, отстоящих иа один шаг от оси симметрии при j~2, и для вычисления некоторых вязких членов необходимы значения основных переменных на оси симметрии. В осесимметричном случае наиболее надежным способом их получения является запись уравнений контрольного объема для конвективных членов иа оси симметрии. (Заметим, что на оси симметрии, очевидно, v=0.)

Упражнение. Показать, что уравнение неразрывности, записанное на оси симметрии (/ = I), имеет вид

"++11=0. (6.37)



няется при использовании цилиндрических или сферических координат при отсутствии осевой симметрии. Довольно грубым, но, очевидно, приемлемым подходом является возврат к декартовым координатам вблизи центральной линии. В настоящее время удобной методики учета особенности на центральной линии не имеется. Ясно, однако, что прием размещения узловых точек на расстоянии половины щага от центральной линии (г = О при / = /г, например) и использования здесь тех же, что и во внутренних точках, аппроксимаций некорректен. Конечно-разностные уравнения не могут быть записаны с переходом через линию г = О, потому что при г == О направление возрастания г меняется на обратное. Аналогичная проблема возникает в сферических координатах при 9 = 0.

Мащпнное время и алгебраическая сложность записи вязких членов сильно возрастают для цилиндрических п в особенности для сферических координат по сравнению с декартовыми. Остается также открытым вопрос о наилучшей форме членов с явной искусственной вязкостью в непрямоугольных координатах. При помощи схемы Русанова (разд. 5.4.3) Итон (личное сообщение) рассчитывал осесимметричные вихревые течения и обнаружил, что ошибки можно значительно уменьшить, положив диффузионные члены на центральной линии равными нулю.

6.4. Другие системы уравнений

в настоящем разделе мы будем обсуждать следующие вопросы в порядке перечисления:

(1) Системы уравнений, являющиеся настолько сильными упрощениями системы уравнений Навье - Стокса, что при этом меняется тип уравнений.

(2) Не столь радикальные упрощения системы уравнений Навье - Стокса.

(3) Системы уравнений более сложные, чем уравнения Навье - Стокса.

(4) Различные способы выражения физических законов, лежащих в основе уравнений Навье-Стокса и других уравнений гидродинамики.

В первую очередь обсудим упрощение, связанное с предположением об отсутствии вязкости, что приводит к потенциальным течениям, к методу характеристик и к теории трансзвуковых течений.

Потенциальность течения в предположении об отсутствии вязкости и сжимаемости жидкости приводит к краевой задаче для линейного уравнения второго порядка. Исторически в этом случае ранее всего был получен обширный класс решений, причем болынинство из них в замкнутой форме (см. любой курс



гидродинамики). Для тел сложной формы часто предпочтительнее рассчитывать потенциальное обтекание численно (см., например, Дуайер и др. [1971]). Однако для решения осесиммет-ричиых задач со свободными поверхностями численный подход действительно необходим. Бреннеи [1969] рассчитал осесиммет-ричное течение с каверной, Джепсон [1969] рассматривал осе-симметричные течения со свободными поверхностями, Биззел с соавторами [1970] рассчитал истечение жидкости из осесимметричного бака, Константинов [1970] и Уитни [1971] рассматривали двумерные нестационарные течения со свободными поверхностями.

Другим классом задач, для которых необходимы численные методы, являются течения с завихренностью невязкой несжимаемой жидкости (как в классической задаче о подъемной силе профиля, помещенного в свободный сдвиговый слой); такие задачи рассматривал, например, Чау с соавторами [1970]. В работах Хауэлла и Спонга [1969], а также Гельдера [1971] численно решалось уравнение потенциала скорости для дозвукового течения сжимаемой жидкости; в последней работе учитывалось также влияние острых углов.

В случае сверхзвукового стационарного течения невязкой жидкости уравнения становятся гиперболическими. Задача сводится к задаче Коши для пространственных переменных, и здесь становится применимым широко известный мощный метод характеристик. Основная теория и численные алгоритмы метода характеристик для двумерных гомоэнтропических течений можно найти в различных учебниках; см., например, Шапиро [1953], Липман и Рошко [1957], Аббот [1966], Овчарек [1964 , Чеимен и Уолкер [1971]. Представляет исторический интерес оригинальная работа Толлмина [1949]. В первоначальном варианте метода характеристик положения узловых точек сетки ие известны заранее, а являются частью решения.

Существуют две разновидности метода характеристик: так называемый метод волн (или метод ячеек) и метод узлов характеристической сетки. В методе воли несколько упрощается арифметика вычислений при выполнении их вручную, и он более нагляден физически, в особенности при наличии в задаче границ с постоянным давлением. Однако метод воли требует перехода в плоскость годографа скорости, приводит к вычислительным трудностям на границе, являющейся линией симметрии, и не может быть обобщен на осесимметричные течения (поскольку основывается не на строгой математической теории характеристик). Поэтому ему следует предпочесть метод узлов характеристической сетки.

Узлы характеристической сетки определяются пересечением характеристик (линий Маха) различных семейств, т. е. линий.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 [ 144 ] 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199