Запорожец  Издания 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 [ 142 ] 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199

dx -

(\+сх)

- 2с

~ dx ~

(1 + схУ

( dt,

<5ф di \

\ ду дХ

дХ ду)

) Отображение бесконечной области на конечную при помощи преобразования = ехр(-I), где I - эллиптическая координата, проводилось и до этого; см., например, Чушкин П. И. Расчет обтекания профиля и тела вращения в дозвуковом потоке. - В кн.: Вычислительная математика, № 3. - М : Изд-во АН СССР, 1958. с. 99-110.™ Прим. ред.

Итак, мы рассмотрели преобразования конечной области на конечную. Другим широко расиространенным типом преобразований является отображение бесконечной области на конечную, впервые, кажется, примененное Ваном и Лонгуэллом [1964] При помоши стационарных уравнений они рассчитывали задачу о входе потока в воздухозаборник, причем система координат {х,у) выбиралась так, что л: = О в плоскости входа в трубу, а затем координата х преобразовывалась по следующей формуле

=i-iqbl- (6.19)

При с > О и X > О иреобразоваине отображает полубесконечную область О X оо на область О X 1, а при с < О н х<0 отображает иолубесконечную область -оо х О иа область О X 1. Пусть

(6.20) (6-21)

тогда

(6.23)

V=.5 + a + ,. (6.24)

Цель подобных иреобразований состоит в том, чтобы в конечно-разностных уравнениях можно было применять аналитн-ческие граничные условия на бесконечности (см. замечания в разд. 3.3.10 и 3.3.11). Поэтому в своей задаче Ван и Лонгуэлл [1964] могли ставить условие однородного потока на входной границе н условие полностью развитого течения Пуазейля на выходной границе. Моретти [1969а, 19696] также одобрял подобные иреобразовання. Силлс [1969] рассмотрел три класса отображений бесконечных областей на конечные, причем каждое из них имело удобное явное обратное отображение;

= -ТТ [О, сх,]->[0, 1], (6.25)

(хх -[- 1

Х2=\~е-\ [О, сх,][0, 1], (6.26)

Хз = Ш(ах), [-СХ,, сх,]->[-1, 1] (6.27)



Тейлор [1969] рассматривал задачи для хе[0, оо], применяя регулярную прямоугольную сетку для хе [О, 1]. Для х > 1 область [1, оо] отображалась на конечную область одним из следующих преобразований:

Х, = -1/х, (6.31)

Х2=-У(\+х)\ (6.32)

Xs = -e-\ (6.33)

для каждого из которых dX/dx > 0. Тейлор также рассматривал задачу о стыковке двух систем координат.

Кенцер [1970а, 19706] рассчитывал трансзвуковое обтекание цилиндра, мгновенно помещенного в равномерный поток невязкого газа. При этом формировалась и распространялась наружу ударная волна. Эта волна в дальнейшем рассматривалась как поверхность разрыва, а область между ней и телом отображалась на прямоугольную при помощи зависящего от времени неортогонального преобразования к криволинейным координатам. В пределе при ->оо этот метод приближается к методу отображения бесконечной области на конечную, однако Кенцер

(здесь а и b - произвольные положительные постоянные). Силлс [1969] обсуждал также формулы для преобразования производных и обратные преобразования; он заметил, что преобразования, основанные на функциях arc tg х и erf х, хотя и дают нужные отображения, но не удобны для приложений. Мета и Лаван [1968] использовали преобразование

„ 1 + ih [а (л: 4- 1/2)] ,п

= -г+Ш1ф)- • (-8)

которое отображает [-оо, 0] на [0,1] с точкой перегиба при х = -/г- Лаван с соавторами [1969] отобразил [-оо,-f-oo] на [О, 1] при помощи преобразования

Z = [l+th(ax)]/2. (6.29)

Мигдал с соавторами [1969] преобразовал поперечную координату сопла при помощи преобразования типа (6.17а) так, чтобы сопло отображалось на прямоугольную область; кроме того, в этой работе область от х = I (срез сопла) до х = -оо была отображена па область X е [О, 1] при помощи преобразования



отмечает, что более простое отображение бесконечной области на конечную, не зависящее от времени, здесь непригодно, поскольку возмущение (ударная волна) достигает бесконечности за конечное число шагов по времени. Фиксированная конечная сетка также непригодна для этой задачи, поскольку скачок отражался бы от границы сетки. Преимущество метода Кенцера состоит в том, что при его нрименении задача оказывается математически корректно поставленной и при постановке граничных условий на удаленных границах не требуется каких-либо ухищрений.

В дополнение к замечаниям по поводу иреобразований растяжения, приведенным выше, отметим следующие положения, существенные для отображений бесконечных областей на конечные.

(1) Аналитические условия «на бесконечности» в качестве граничных условий на выходе потока не всегда оказываются нредиочтительными, как это было отмечено в разд. 3.3.7-3.3.11 и 5.7.6. (Рассмотрим, например, расчет развития пограничного слоя на плоской пластинке; если преобразуется только координата X, то правильным условием на бесконечности вниз по потоку будет u = v = 0 для любого конечного расстояния у.)

(2) Интуитивно представляется, что полученные при преобразовании условия на бесконечностн менее точны, чем наилучшие из условий, приведенных в разд. 3.3.7, в тех случаях, когда течение на выходе является периодическим, типа вихревой дорожки в следе за телом. (Например, что произойдет в том случае, когда Аа оказывается больше расстояния между вихрями в вихревой дорожке?)

(3) Отвлекаясь от вопроса об относительной точности аналитических и приближенных численных граничных условий, легко показать, что преобразования растяжения могут уменьшить точность результатов при расчетах во внутренних точках периодических течений, как это показывает следующее упражнение.

Упражнение. Рассмотрим уравнение dtjdt = -u{dtjdx) с постоянной величиной и, моделирующее конвекцию в невязком газе. Если применить схему с разностями против потока, то конечно-разностное уравнение, как и уравнение в частных производных, не требует граничных условий на выходной границе и точное решение может быть получено на равномерной по X сетке (см. разд. 3.1.8). Показать, что преобразования вида (6.19) - - (6.22) приводят к невозможности получения точного решения для и = const.

В условиях этого упражнения точное решение преобразованной задачи можно получить в том случае, когда постоянна величина «/(1+х)2, однако случай « = const физически более реален.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 [ 142 ] 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199